Nella Seconda Giornata del Dialogo sopra i Due Massimi Sistemi, Galileo Galilei descrive un esperimento da compiere all’interno di una nave.

Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, equali spazii passerete verso tutte le parti.

Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma.

Voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate [...].

Cioè, quando la nave è ferma

Quando la nave è in moto, a velocità costante e senza scosse,  gli stessi fenomeni avvengono nella stessa maniera: saltare verso prua non è più faticoso che saltare verso poppa e le gocce d’acqua non «rimangono indietro» in modo da non centrare più l’apertura della bottiglia.

Questa scoperta di Galileo viene espressa, con un linguaggio moderno, come principio di relatività galileiana:

le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, qualunque sia la velocità (costante) con cui essi si muovono gli uni rispetto agli altri.

Come conseguenza di questo principio, nessun esperimento di meccanica compiuto al chiuso (cioè senza guardare fuori dal finestrino) ci può permettere di capire se siamo fermi in un sistema di riferimento inerziale, per esempio la Terra oppure se, rispetto a esso, ci stiamo muovendo a velocità costante (figura 1).

Anche se in due sistemi di riferimento inerziali valgono le stesse leggi della meccanica, la descrizione del moto può essere diversa. Per esempio nel sistema di riferimento del treno (che si muove a velocità costante), un libro risulta fermo; però, rispetto ai binari, il libro si muove di moto rettilineo uniforme.

Vogliamo trovare delle leggi che permettano di descrivere quantitativamente il moto in un certo sistema di riferimento inerziale S', se conosciamo le caratteristiche dello stesso moto in un altro sistema inerziale S (che potrebbe essere il sistema IRC).

Indichiamo con

• t l’istante di tempo misurato nel sistema di riferimento S;
• t' l’istante di tempo misurato nel sistema di riferimento  S'.

Descriviamo con il vettore \({{\vec{V}}} \) la velocità (costante) con cui il sistema di riferimento S' si muove rispetto a S.

Così, conoscendo le grandezze misurate in S' è possibile calcolare le corrispondenti grandezze di S attraverso le relazioni:

\[ {{\left\{{\begin{array}{l}{{{\vec{{ s}}}}={{{\vec{{ s}}}'}}+{{\vec{{ V}}}}{{{{ t}}'}}}\\ {{{ t}}={{{{ t}}'}}} \end{array}}\right.}} \]

Da queste si ricavano le leggi che permettono di passare dalle quantità di S a quelle di S':

\[ {{\left\{{\begin{array}{l} {{{{\vec{{ s}}}'}}={{\vec{{ s}}}}{ {-}}{{\vec{{ Vt}}}}}\\ {{{{{ t}}'}}=\;{{ t}}} \end{array}}\right.}} \]

Le formule (1) e (2) sono dette trasformazioni di Galileo. In entrambe, la prima equazione afferma che gli spostamenti di un oggetto nei due sistemi inerziali sono legati da una relazione lineare nel tempo; la seconda equazione dice che il tempo scorre in modo uguale nei due sistemi.

Indichiamo ora con \( {{\vec{{ v}}}} \) la velocità di un punto materiale misurata nel riferimento S e con \( {{{\vec{{ v}}}'}} \) la velocità dello stesso oggetto rispetto a S'.

Che relazione c’è tra \( {{\vec{{ v}}}} \) e \( {{{\vec{{ v}}}'}} \)? Applicando la (1) a un piccolo intervallo di tempo \( \mathrm{\Delta} t = \mathrm{\Delta} {t}' \) si ha

Dividendo il primo membro per \( \mathrm{\Delta} t \) e il secondo membro per \( \mathrm{\Delta}{{{{ t}}'}} \) si ricava:

cioè:

Possiamo quindi affermare che:

la velocità di un oggetto rispetto a S è data dalla velocità dello stesso oggetto rispetto a S', sommata con la velocità di S' rispetto a S.

Le formule (1), (2) e (3) risolvono in modo corretto il problema di passare da un sistema di riferimento inerziale a un altro fino a quando le velocità coinvolte non sono troppo elevate.

Però, quando le velocità in gioco arrivano a essere confrontabili con la velocità c della luce nel vuoto, il modello costituito dalla relatività galileiana e dalle trasformazioni di Galileo non è più in accordo con gli esperimenti e deve essere sostituito da un nuovo modello, dato dalla relatività ristretta di Einstein e dalle trasformazioni di Lorentz. Quindi

la relatività galileiana e le trasformazioni di Galileo costituiscono un modello fisico che ha un ambito di validità limitato a velocità abbastanza piccole rispetto a quella della luce nel vuoto.

A sua volta, il modello espresso dalle trasformazioni di Lorentz può essere visto come una generalizzazione del modello galileiano perché le trasformazioni di Lorentz si riconducono a quelle di Galileo nel limite in cui tutte le velocità sono piccole rispetto a c.

In pratica, quindi, bastano Galileo e Newton per andare in bicicletta e anche per andare sulla Luna, ma serve Einstein per descrivere il comportamento delle particelle che si muovono a velocità prossime a quella della luce nei grandi acceleratori, per esempio al CERN di Ginevra.