Capitolo Le forze e i moti

I moti su una retta

Si chiamano moti rettilinei i moti la cui traiettoria è un segmento di retta. In questo paragrafo sono raccolte le caratteristiche principali dei due più semplici moti rettilinei: il moto rettilineo uniforme e il moto rettilineo uniformemente accelerato

I moti su una retta

Il moto rettilineo uniforme

Per il primo principio della dinamica, si tratta del moto che si ottiene quando un punto materiale in movimento è soggetto a una forza totale nulla.

Dal punto di vista matematico, è caratterizzato dal fatto che la sua velocità media, misurata su qualunque intervallo di tempo, è sempre la stessa.

Se si indica con

v la velocità costante del moto;
t il generico istante di tempo;
s₀ la posizione del punto materiale all’istante t = 0 s (spesso detto «istante iniziale» del moto);
s la posizione del punto materiale all’istante t;

la legge del moto rettilineo uniforme risulta

\[ s=s_{0}+vt \]

Come si vede nella figura 1, il grafico spazio-tempo associato a questa legge è una retta che interseca l’asse verticale delle posizioni nel punto (0 s, s₀). Così, la retta passa per l’origine soltanto quando si ha s₀ = 0 m, e in tal caso la formula precedente si riduce al caso particolare

\[ s=vt \]

Nella vita quotidiana, si muovono di moto rettilineo uniforme la luce e, almeno per un certo tratto, una valigia sul nastro trasportatore di un aeroporto.

Figura 1

Grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme.

I moti su una retta

Il moto rettilineo uniformemente accelerato

Per il secondo principio della dinamica, è il moto che si ottiene quando su un punto materiale, inizialmente fermo, agisce una forza costante. La sua caratteristica è che l’accelerazione del corpo in moviemeto si mantiene costante al trascorrere del tempo.

Se si indica con

a l’accelerazione costante del moto;
t il generico istante di tempo;
v₀ la velocità del punto materiale all’istante t = 0 s;
s₀ la posizione del punto materiale allo stesso istante;
v la velocità del punto materiale all’istante t;
s la posizione del punto materiale all’istante t;

la legge della velocità per il moto uniformemente accelerato è

\[ v=v_{0} + at \]

il cui grafico velocità-tempo (rappresentato nella figura 2) è una retta che interseca l’asse verticale delle velocità nel punto (0 s, v₀).

La legge della posizione per il moto uniformemente accelerato è

\[s = {s_0} + {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2}\]

Nel caso semplice in cui si ha s₀ = 0 m e v₀ = 0 m/s le formule (3) e (4) diventano, rispettivamente

\[v =a \]

\[s=\frac{1}{2}a{t^2}\]

Il grafico spazio-tempo relativo alla formula (6) è una parabola con vertice nell’origine (figura 3); quello della formula (4) è una parabola di forma generale.

Nella vita quotidiana, si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato un sassolino che cade dalla mano; in quel caso il valore dell'accelerazione è a = g = 9,8 m/s² (accelerazione di gravità).

Figura 2

Grafico velocità-tempo per il moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione negativa (moto decelerato).

In laboratorio

Moto uniformemente accelerato: Real Time Laboratory

Video (2 minuti)

Test (3 domande)

Figura 3

Grafico spazio-tempo del moto uniformemente accelerato con partenza da fermo.

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〉 Le forze e i moti
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〉 Il moto rettilineo uniformemente accelerato

Capitolo Le forze e i moti

I moti su una retta

Matematica

La distanza e l’integrale definito

Consideriamo un moto rettilineo vario, cioè che avviene con velocità variabile.

Per esempio, il grafico velocità-tempo della figura sotto rappresenta la velocità v (t) di un atleta che corre su una strada rettilinea.

Vogliamo determinare il valore della distanza Δs percorsa dall’atleta durante il suo moto tra l’istante t₁ e l’istante t₂.

Se il valore della velocità fosse costante e uguale a v, la distanza percorsa dal corridore nel suo moto sarebbe

Δs = vΔ t = v ( t₂ − t₁).

Nel corrispondente grafico velocità-tempo il prodotto v (t₂ − t₁) rappresenta l’area del rettangolo di altezza v e base (t₂ − t₁).

Siccome sappiamo calcolare le distanze soltanto nel caso di un moto con velocità costante, approssimiamo il moto della prima figura con un altro moto, più semplice da studiare, in cui l’atleta si muove con velocità costante v₁ per un primo intervallo di tempo Δt₁, poi cambia bruscamente velocità fino al un secondo valore v₂, che mantiene per un altro intervallo di tempo Δt₂, e così via.

Il grafico di questo moto approssimato è rappresentato nella figura sotto.

Grazie a questa procedura, siamo in grado di dare un valore approssimato alla distanza percorsa dal corridore durante il suo allenamento: è la somma delle quattro distanze Δs₁, ..., Δs₄ che possiamo calcolare nei quattro tratti percorsi a velocità costante.

Indichiamo questa distanza approssimata con il simbolo Δs(4) per sottolineare che è ottenuta approssimando il moto reale con quattro tratti a velocità costante:

\[\begin{align} \Delta s(4) &=\Delta {s_1}{\rm{ + }}\Delta {s_2}{\rm{ + }}\Delta {s_3}{\rm{ + }}\Delta {s_4}=\sum\limits_{k = 1}^4 \Delta {s_k}\\ &={v_1}\Delta {t_1}{\rm{ + }}{v_2}\Delta {t_2}{\rm{ + }}{v_3}\Delta {t_3}{\rm{ + }}{v_4}\Delta {t_4}=\sum\limits_{k = 1}^4 {{v_k}} \Delta {t_k}. \end{align}\]

In analogia a quanto detto prima, il valore di questa sommatoria ha un’interpretazione geometrica chiara: è la somma delle aree dei quattro rettangoli di basi Δt₁, Δt₂, ... e di altezze rispettivamente v₁, v₂, ... (figura seguente).

Certamente questo calcolo non fornisce un valore abbastanza preciso della distanza Δs; però la precisione del calcolo si può aumentare quanto si vuole scegliendo di approssimare il moto con un numero più grande di intervalli percorsi a velocità costante.

Per esempio, la figura seguente mostra che, raddoppiando il numero di intervalli, la linea rossa che descrive il moto con tratti di velocità costanti approssima meglio la linea azzurra del moto reale.

Così, anche il calcolo approssimato della distanza si avvicina di più al valore corretto.

Consideriamo allora il caso in cui il moto dell’atleta è approssimato usando n tratti a velocità costante e indichiamo con Δs (n) il valore della distanza corrispondente; generalizzando le formule scritte in precedenza nel caso n = 4, otteniamo:

\[\begin{align} \Delta s(n) &= \Delta {s_1}{\rm{ + }}\Delta {s_2}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\Delta {s_n}=\sum\limits_{k = 1}^n \Delta {s_k}\\ &={v_1}\Delta {t_1} + {v_2}\Delta {t_2}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{v_n}\Delta {t_n}=\sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} \Delta {t_k} \end{align}.\]

Aumentando il numero n di suddivisioni, la precisione del calcolo è via via crescente. Tuttavia, fino a che n è un numero finito, rimane sempre una differenza tra il valore approssimato Δs (n) e il valore Δs che vogliamo calcolare.

Quindi, per concludere il calcolo occorre fare crescere il numero di suddivisioni all’infinito; solo in questo modo la curva a tratti orizzontali approssima arbitrariamente bene la curva continua del grafico velocità-tempo. Così il valore di Δs si ottiene dal valore di Δs (n) quando n diventa infinitamente grande (e quindi tutti gli intervalli di tempo Δt₁, Δt₂, ... diventano infinitamente piccoli).

In questo caso, ciascuno dei rettangoli che fornisce la distanza percorsa in un singolo intervallo di tempo Δt_k, con velocità costante v_k, diventa «infinitamente stretto» (figura a lato).

La somma delle aree di questi (infiniti) rettangoli non è altro che l’area della parte di piano compresa tra l’asse delle ascisse, il grafico velocità-tempo e gli istanti di tempo t₁ e t₂ (figura seguente).

Dal punto di vista matematico l’aumento indefinito del numero di intervalli si esprime con la scrittura

\[\Delta s\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \Delta s\left( n \right)\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \sum\limits_{k = 1}^n \Delta {s_k}\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} \Delta {t_k},\]

dove il simbolo \(\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \) si legge «limite per n che tende a più infinito». Il calcolo di questo limite si ottiene mediante un procedimento che si chiama «integrale definito» e si scrive come

\[\Delta s\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} \Delta {t_k}\;{\rm{ = }}\int_{{t_1}}^{{t_2}} v \left( t \right)dt.\]

Anche diverse altre grandezze (tra cui il lavoro di una forza variabile e quello compiuto da una trasformazione termodinamica) sono date dall’area di una parte di piano in un sistema di riferimento opportuno.