Capitolo Le forze e i moti

Il moto armonico

Il moto di un pendolo e quello di un’altalena sono moti oscillatori, in cui la traiettoria del moto è ripetuta diverse volte in versi opposti. Il modello più semplice di moto oscillatorio, in cui si trascurano gli effetti degli attriti che smorzano l’oscillazione, è quello del moto armonico.

Si chiama moto armonico il movimento che si ottiene proiettando su un diametro le posizioni di un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme.

Nella figura 15 i punti Q , che rappresentano il moto armonico, sono disegnati a intervalli di tempo uguali; si nota allora che

nelle zone centrali il moto armonico è più rapido e percorre distanze maggiori in tempi uguali; agli estremi il moto armonico è più lento e percorre distanze minori negli stessi tempi. Nei punti di inversione del moto la velocità istantanea del punto è nulla.

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Figura 15

Moto del punto Q sul diametro in conseguenza del moto di P sulla circonferenza.

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Il moto armonico

Il grafico spazio-tempo del moto armonico

Il moto armonico si può studiare in laboratorio grazie a una molla di buona qualità a cui è attaccato un pesetto.

Con un sensore di movimento posto sotto la molla si rileva il grafico spazio-tempo della figura 16.

Dal grafico si possono dedurre due grandezze fondamentali del moto armonico:

 

il periodo T, che è la durata di un’oscillazione completa avanti e indietro; l’ampiezza dell’oscillazione, che è la distanza tra il valore massimo della curva da quello centrale dell’oscillazione ed è uguale al raggio della circonferenza ideale che genera il moto armonico.

Con altri sensori è possibile studiare anche il grafico velocità-tempo del moto armonico e quello accelerazione-tempo; nelle figure seguenti questi grafici sono sovrapposti a quello spazio-tempo per avere un confronto.

Il grafico v-t conferma che la velocità si annulla nei punti di inversione del moto (linee tratteggiate azzurre), mentre assume il valore massimo (positivo o negativo) al centro dell’oscillazione (linee tratteggiate arancioni). Il grafico a-t rivela che a è nulla quando il moto oscillatorio passa per il centro (punti di intersezione tra le due curve); inoltre a è massima quando lo spostamento s è minimo e viceversa (linee tratteggiate).
   

Quindi,

il grafico spazio-tempo e quello accelerazione-tempo sono direttamente proporzionali, ma i segni delle due grandezze sono sempre opposti.

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Figura 16

Grafico spazio-tempo del moto di un pesetto attaccato a una molla

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Il moto armonico

Storia della fisica

Galileo Galilei e il metodo sperimentale

 

Come ha fatto Galileo a scoprire che tutti i corpi cadrebbero a terra nello stesso modo, se non ci fosse l’attrito dell’aria? Non è una verità evidente, che sta davanti agli occhi di tutti. Al contrario è un’affermazione che va contro il senso comune: un vaso di fiori che cade dal secondo piano arriva a terra ben prima di una foglia che si è staccata dalla pianta.

Oggi sappiamo che Galileo ha ragione. Robert Boyle lo ha verificato poco dopo la metà del Seicento, mettendo oggetti di peso e forma diversi dentro un tubo nel quale aveva fatto il vuoto, cioè aveva aspirato dell’aria. Capovolgendo il tubo, tutti gli oggetti toccano il fondo nello stesso istante. Anche gli astronauti lo hanno verificato nel 1971 sulla Luna, dove non c’è atmosfera: una piuma e un martello, lasciati cadere dalla stessa altezza, arrivano al suolo contemporaneamente.

Nel Seicento, ai tempi di Galileo, per spiegare la caduta dei gravi si faceva riferimento alla teoria di Aristotele, secondo la quale la velocità di caduta è direttamente proporzionale alla massa del corpo: una pietra di 10 kg sarebbe 10 volte più veloce di un sasso da 1 kg. Galileo ha avuto il coraggio di mettere in dubbio ciò che diceva Aristotele, la cui autorità era all’epoca indiscutibile. Per prima cosa ha demolito logicamente la sua affermazione, inventando un esperimento ideale, il cui risultato porta a una contraddizione.

Immagina di far cadere due oggetti diversi dalla stessa altezza; secondo Aristotele, quando arrivano a terra il più pesante ha una velocità vp maggiore della velocità vl di quello più leggero. Poi immagina di legare i due oggetti insieme con una corda sottile:

  • puoi aspettarti che quello più leggero e lento ostacoli il moto dell’altro e sia tirato da esso. Quindi la velocità comune con cui i due arrivano a terra dovrebbe essere compresa tra vp e vl.
  • Ma si può ragionare in un altro modo: i due oggetti uniti formano un unico corpo, più pesante di ciascuno dei due. Stando così le cose, la velocità comune con cui i due arrivano a terra dovrebbe essere maggiore di vp.

Due ragionamenti diversi ma corretti, entrambi basati sulla teoria di Aristotele, portano a risultati incompatibili tra loro. Ciò è inaccettabile e quindi dobbiamo ammettere che l’idea di partenza è sbagliata. Così, con un esperimento ideale Galileo ha falsificato la teoria. Il passo successivo consiste nell’inventare un nuovo modello che descriva in modo accurato il fenomeno. Ancora una volta Galileo fa ricorso a un esperimento, questa volta reale.

La caduta libera come caso limite del piano inclinato

L’esperimento ha lo scopo di verificare l’ipotesi che i corpi cadano con accelerazione costante, cioè aumentino la velocità in modo direttamente proporzionale al tempo. Tuttavia i mezzi tecnici a sua disposizione non gli permettono di misurare la velocità istantanea. Mentre per valutare le lunghezze gli basta un metro, misurare con precisione i brevi intervalli di tempo necessari ai corpi per toccare terra costituisce un problema.

Allora, visto che il moto di caduta libero è troppo veloce per essere studiato, Galileo realizza la caduta libera al rallentatore grazie a un piano inclinato, ben levigato per ridurre l’attrito, su cui rotola una sfera di bronzo, che può quindi raggiungere il suolo in tempi più lunghi, misurabili con gli strumenti a sua disposizione. Inoltre, l’attrito con l’aria non modifica in modo apprezzabile il moto della pesante sfera di bronzo.

L’apparato sperimentale è composto da:

  • un piano inclinato con una scanalatura;
  • un regolo (cioè un metro) di ottone suddiviso in intervalli uguali;
  • una sfera di bronzo;
  • un orologio ad acqua. Il tempo di caduta della sfera è ottenuto pesando la quantità d’acqua che, durante la discesa della sfera lungo il piano, fuoriesce da un secchio attraverso un sottile cannello e si raccoglie in un recipiente posato sul piatto di una bilancia.

Galileo misura il tempo di caduta della sfera per diverse lunghezze del percorso. Poi, confrontando tempi di discesa e lunghezze, verifica che esiste una proporzionalità diretta fra le distanze percorse Δs e i quadrati dei corrispondenti intervalli di tempo (Δt)2; questo è vero per diverse inclinazioni del piano e anche quando cambia la massa la composizione della sfera:

\[ \mathrm{\Delta}{S}=\frac{1}{2}\mathrm{\alpha}{\left({\mathrm{\Delta}{t}}\right)}^{2}. \]

Da ciò arriva alla formulazione di una legge generale sul moto di caduta libera, che vale anche al limite quando il piano inclinato è in posizione verticale. Tradotta in parole, la legge afferma che, se non ci fosse l’attrito con l’aria, tutti i corpi cadrebbero con un moto uniformemente accelerato.

Il metodo sperimentale

Galileo è stato un rivoluzionario. Ha avuto il coraggio di mettere in dubbio ciò che i suoi contemporanei ritenevano ovvio e soprattutto ha inventato il metodo sperimentale, su cui si fonda la scienza. Secondo questo metodo, un’affermazione è vera se è verificata dagli esperimenti e non se si basa sul principio di autorità («l’ha detto Aristotele»). Gli esperimenti sono il banco di prova di un modello o una teoria: fino a quando la verificano, la teoria è vera; basta un solo esperimento che la contraddica per renderla falsa. Ripercorriamo i passi del metodo sperimentale, facendo riferimento alla caduta dei gravi.

  1. Osservazione di un fenomeno: tutti i corpi cadono e il loro moto verso il basso è influenzato dall’attrito dell’aria.
  2. Scelta delle grandezze fisiche per descriverlo: lunghezza, tempo, velocità, accelerazione.
  3. Formulazione di un’ipotesi: se l’attrito con l’aria è trascurabile, i corpi cadono con accelerazione costante.
  4. Esperimenti per verificare l’ipotesi: misura della relazione fra tempi e lunghezze nella caduta dal piano inclinato, caduta libera come piano inclinato a 90 gradi in condizioni tali che l’attrito sia trascurabile. Se gli esperimenti contraddicono l’ipotesi, occorre scartarla, inventarne una nuova e ripetere il ciclo.
  5. Enunciazione della legge sperimentale:
\[ \mathrm{\Delta}{S}=\frac{1}{2}\mathrm{\alpha}{\left({\mathrm{\Delta}{t}}\right)}^{2}. \]

Le leggi sperimentali costituiscono delle conoscenze particolari che sono poi integrate in strutture logiche più complete, le teorie fisiche. Per esempio, la legge di caduta dei gravi può essere dedotta a partire dai princìpi della dinamica, che sono le leggi su cui si basa tutta la meccanica.

Le teorie, infatti, sono costruite in modo da permettere di derivare dai loro assiomi tutte le leggi sperimentali note in un certo ambito della fisica. L’accordo con le leggi sperimentali conferma la teoria.

Proprio come dice Galileo nella citazione iniziale: questo è il metodo delle scienze che utilizzano le dimostrazioni matematiche, così fanno gli studiosi della prospettiva (perspettivi), gli astronomi, gli ingegneri (mecanici), i musici e altri che, con gli esperimenti (sensate esperienze) confermano i loro princìpi, su cui si fonda tutta la costruzione teorica successiva.

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Il moto armonico

La legge del moto armonico

La curva che compare nel grafico spazio-tempo del moto armonico disegnata dal sensore di posizione si chiama cosinusoide. L’abbiamo ottenuta scegliendo un sistema di riferimento in cui l’origine s = 0 m è posta al centro dell’oscillazione e scegliendo l’istante t = 0 s nel momento in cui l’oscillazione è nel suo punto massimo. La formula che fornisce la posizione s in funzione dell’istante di tempo t è:

\[ {s}={r}\,{\mathrm{cos}}\,\mathrm{\omega}{t}={r}\,{\mathrm{cos}}\,\frac{{2}\mathrm{\pi}{t}}{T} \]

Ricordando la costruzione presentata all’inizio del paragrafo, ω è la velocità angolare del moto circolare uniforme che genera il moto armonico e r è il raggio della traiettoria circolare; ω e T sono legati dalle equazioni (17).

Nel moto armonico r è l’ampiezza dell’oscillazione e la grandezza ω viene chiamata pulsazione.

Riferendoci al grafico (figura 17) della cosinusoide riportato a lato, studiamo nella tabella seguente alcuni casi:

 

 

  • All’istante iniziale il corpo è nel punto di massimo spostamento positivo dal centro dell’oscillazione.
  • Dopo 1/4 di periodo passa per il punto centrale.
  • Dopo 1/2 periodo è giunto al punto di massima oscillazione negativa.
  • Dopo un periodo, l’oscillazione ricomincia.

Per la velocità istantanea nel moto armonico, il grafico velocità-tempo visto in precedenza e la teoria stabiliscono che vale la relazione

\[ v = - \mathrm{\omega}{r}\, \rm{sen}\, \mathrm{\omega}t = - v_{0} \, \rm{sen}\,\mathrm{\omega}t. \]

Dove v0 = ωr è il massimo modulo della velocità del corpo che oscilla ed è anche il modulo della velocità del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.

Moto armonico
t 0 T / 4 T / 2 T
s s = r cos 0 = r s = r cos π/2 = 0 s = r cos π = –r s = r cos 2π = r
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Figura 17

Grafico spazio-tempo del moto armonico.

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Il moto armonico

L’accelerazione del moto armonico

Una pallina che si muove di moto armonico si trova nel punto Q della sua traiettoria. Q è la proiezione di un punto P che si muove di moto circolare uniforme. Il vettore posizione \(\vec s\) di Q è il vettore che ha origine nel centro di oscillazione e la punta dove si trova Q.

Il vettore posizione della pallina è la proiezione sul diametro del raggio vettore \({\vec s_p}\), che è il vettore posizione del punto P. Allo stesso modo, il vettore velocità della pallina è la proiezione sul diametro del vettore velocità istantanea di P. Così anche il vettore accelerazione della pallina è la proiezione sul diametro dell’accelerazione centripeta del punto P.
     

Dalle figure precedenti si vede che 

L’accelerazione \(\vec a\) in un punto Q del moto armonico ha sempre verso opposto al vettore posizione \(\vec s\) di Q (figura 18).

Nel confronto tra il grafico spazio-tempo e quello accelerazione-tempo avevamo inoltre visto che in ogni istante il valore di a e quello di s sono direttamente proporzionali.

La formula che fornisce \(\vec a\) e che riassume queste due proprietà è: 

Ricordando la formula (22) , il valore dell’accelerazione può essere espresso come

\[ a=-\omega^{2} s =-\omega^2\,r \rm{cos}\, \omega t = - a_{0} \,\rm{cos}\, \omega t, \]

dove a0 = ω2r è il massimo modulo dell’accelerazione del corpo che oscilla ed è anche valore dell’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.

 

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esempio

Una massa attaccata a una molla oscilla di moto armonico con una pulsazione ω = 4,1 rad/s; a un certo punto la massa si trova nella posizione s = − 0,057 m.

Calcola il valore dell’accelerazione della massa in tale condizione.

Dalla formula (24) si ottiene

\[a=-{\omega ^2}{s}=-{\left( {4,\!1\,\frac{\rm{rad}}{\rm{s}}} \right)^2} \times (- 0,\!057\:{\rm m})=0,\!96\,\frac {\rm{m}}{\rm{{s^2}}}.\]

L’unità di misura risulta m/s2 perché il radiante è un numero puro e quindi non compare nel risultato finale.

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Figura 18

I vettori \( \vec{a} \) e \( \vec{s} \) hanno la stessa direzione e versi opposti.

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Il moto armonico

Dimostrazione della legge per l’accelerazione nel moto armonico

Per dimostrare la formula (24), disegniamo il raggio vettore \(\vec r\), il vettore posizione \(\vec s\) di Q, l’accelerazione centripeta \({\vec a_c}\) del moto circolare e l’accelerazione \(\vec a\) del moto armonico (figura 19).

  • Si vede che i vettori \(\vec a\) e \(\vec s\) hanno la stessa direzione e versi opposti, quindi possiamo introdurre un fattore di proporzionalità k fra il modulo di \(\vec a\) e il modulo di \(\vec s\), cioè scrivere \(\vec a\;{\rm{ = - }}\;k\vec s\).
  • Per calcolare k notiamo che i due triangoli \(OQP\) e \(PML\) sono simili perché sono entrambi rettangoli e hanno uguali gli angoli \(Q\hat OP\) e \(L\hat PM\) (alterni interni tra \(\vec s\) e \(\vec a\), con la trasversale \(\vec r\)). Allora si può scrivere la proporzione
\[\frac{{\overline {MP} }}{{\overline {OQ} }}{\rm{ = }}\frac{{\overline {PL} }}{{\overline {OP} }},\;\;\;{\rm{ cioè }}\;\frac{{{a}}}{{{s}}}{\rm{ = }}\frac{{{{{a}}_{{c}}}}}{{{r}}}.\]

Il valore di a (modulo del vettore \(\vec a\)) si ricava moltiplicando per s i due membri della seconda equazione e sostituendo al posto di \(a_{c}\) l’espressione \(w^{2}r\):

 

  • Quindi il valore di \(k\) è \(w^{2}\!\), per cui otteniamo infine la formula (24): \(\vec a{\text{ = - }}{\omega ^2}\vec s\).
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    Figura 19

    Posizioni e accelerazioni del moto circolare uniforme e del corrispondente moto armonico.

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