Capitolo Le forze e i moti

Il moto armonico

L’accelerazione del moto armonico

Una pallina che si muove di moto armonico si trova nel punto Q della sua traiettoria. Q è la proiezione di un punto P che si muove di moto circolare uniforme. Il vettore posizione \(\vec s\) di Q è il vettore che ha origine nel centro di oscillazione e la punta dove si trova Q.

Il vettore posizione della pallina è la proiezione sul diametro del raggio vettore \({\vec s_p}\), che è il vettore posizione del punto P. Allo stesso modo, il vettore velocità della pallina è la proiezione sul diametro del vettore velocità istantanea di P. Così anche il vettore accelerazione della pallina è la proiezione sul diametro dell’accelerazione centripeta del punto P.
     

Dalle figure precedenti si vede che 

L’accelerazione \(\vec a\) in un punto Q del moto armonico ha sempre verso opposto al vettore posizione \(\vec s\) di Q (figura 18).

Nel confronto tra il grafico spazio-tempo e quello accelerazione-tempo avevamo inoltre visto che in ogni istante il valore di a e quello di s sono direttamente proporzionali.

La formula che fornisce \(\vec a\) e che riassume queste due proprietà è: 

Ricordando la formula (22) , il valore dell’accelerazione può essere espresso come

\[ a=-\omega^{2} s =-\omega^2\,r \rm{cos}\, \omega t = - a_{0} \,\rm{cos}\, \omega t, \]

dove a0 = ω2r è il massimo modulo dell’accelerazione del corpo che oscilla ed è anche valore dell’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.

 

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esempio

Una massa attaccata a una molla oscilla di moto armonico con una pulsazione ω = 4,1 rad/s; a un certo punto la massa si trova nella posizione s = − 0,057 m.

Calcola il valore dell’accelerazione della massa in tale condizione.

Dalla formula (24) si ottiene

\[a=-{\omega ^2}{s}=-{\left( {4,\!1\,\frac{\rm{rad}}{\rm{s}}} \right)^2} \times (- 0,\!057\:{\rm m})=0,\!96\,\frac {\rm{m}}{\rm{{s^2}}}.\]

L’unità di misura risulta m/s2 perché il radiante è un numero puro e quindi non compare nel risultato finale.

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Figura 18

I vettori \( \vec{a} \) e \( \vec{s} \) hanno la stessa direzione e versi opposti.

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