Capitolo Le forze e i moti

Il moto armonico

La legge del moto armonico

La curva che compare nel grafico spazio-tempo del moto armonico disegnata dal sensore di posizione si chiama cosinusoide. L’abbiamo ottenuta scegliendo un sistema di riferimento in cui l’origine s = 0 m è posta al centro dell’oscillazione e scegliendo l’istante t = 0 s nel momento in cui l’oscillazione è nel suo punto massimo. La formula che fornisce la posizione s in funzione dell’istante di tempo t è:

\[ {s}={r}\,{\mathrm{cos}}\,\mathrm{\omega}{t}={r}\,{\mathrm{cos}}\,\frac{{2}\mathrm{\pi}{t}}{T} \]

Ricordando la costruzione presentata all’inizio del paragrafo, ω è la velocità angolare del moto circolare uniforme che genera il moto armonico e r è il raggio della traiettoria circolare; ω e T sono legati dalle equazioni (17).

Nel moto armonico r è l’ampiezza dell’oscillazione e la grandezza ω viene chiamata pulsazione.

Riferendoci al grafico (figura 17) della cosinusoide riportato a lato, studiamo nella tabella seguente alcuni casi:

 

 

  • All’istante iniziale il corpo è nel punto di massimo spostamento positivo dal centro dell’oscillazione.
  • Dopo 1/4 di periodo passa per il punto centrale.
  • Dopo 1/2 periodo è giunto al punto di massima oscillazione negativa.
  • Dopo un periodo, l’oscillazione ricomincia.

Per la velocità istantanea nel moto armonico, il grafico velocità-tempo visto in precedenza e la teoria stabiliscono che vale la relazione

\[ v = - \mathrm{\omega}{r}\, \rm{sen}\, \mathrm{\omega}t = - v_{0} \, \rm{sen}\,\mathrm{\omega}t. \]

Dove v0 = ωr è il massimo modulo della velocità del corpo che oscilla ed è anche il modulo della velocità del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.

Moto armonico
t 0 T / 4 T / 2 T
s s = r cos 0 = r s = r cos π/2 = 0 s = r cos π = –r s = r cos 2π = r
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Figura 17

Grafico spazio-tempo del moto armonico.

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