Capitolo Le forze e i moti

Il moto parabolico (forza costante)

Velocità iniziale orizzontale

Consideriamo prima una pallina lanciata in orizzontale con velocità iniziale \({\vec v_0}\) (figura 5). Trascurando l’attrito con l’aria, l’unica forza che agisce sulla pallina è il suo peso; quindi per il secondo principio della dinamica la pallina ha un’accelerazione uguale a quella di gravità:

\(\vec a\;{\rm{ = }}\;\vec g\)

L’accelerazione \(\vec g\) è verticale e rivolta verso il basso; quindi:

non esiste alcuna accelerazione orizzontale: in orizzontale la pallina continua a muoversi per inerzia alla velocità iniziale \({\vec v_0}\);
esiste una accelerazione verticale costante: il moto verticale della pallina è uniformemente accelerato, con accelerazione pari a \(\vec g\).

Da queste due osservazioni si deduce che

il moto di un oggetto lanciato in orizzontale è la sovrapposizione di due moti:
un moto rettilineo uniforme orizzontale,
un moto rettilineo uniformemente accelerato verticale.

Scegliendo il punto di partenza come origine degli assi coordinati, l’asse delle y rivolto verso l’alto e come istante t = 0 quello in cui inizia il moto, le coordinate x e y delle posizioni occupate dalla pallina sono allora date dalle formule

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\;{\rm{ = }}\;{v_0}t}\\ {y\;{\rm{ = - }}\frac{1}{2}g{t^2}}. \end{array}} \right.\]

Isoliamo t nella prima equazione del sistema (7) e sostituiamolo nella seconda equazione:

\[\left\{ \begin{array}{l} t = \frac{x}{{{v_0}}}\\ y = - \frac{1}{2}g{t^2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = \frac{x}{{{v_0}}}\\ y = - \frac{1}{2}g{\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = \frac{x}{{{v_0}}}\\ y = - \frac{1}{2}\frac{g}{{v_0^2}}{x^2}. \end{array} \right.\]

L’equazione

\[y\;{\rm{ = - }}\frac{1}{2}\frac{g}{{v_0^2}}{x^2}\]

fornisce l’equazione cartesiana della traiettoria seguita dalla pallina. Essa rappresenta una parabola che ha il vertice nell’origine degli assi.

La traiettoria di un oggetto lanciato in orizzontale è una parabola con il vertice nel punto di lancio (figura 6).

Un esperimento ci permette di controllare se questa previsione è corretta. Facciamo partire due palline da golf nello stesso istante: la prima cade da ferma, la seconda è lanciata in orizzontale.

Una fotografia a esposizione multipla rileva le posizioni delle due palline a intervalli di tempo costanti.

Istante dopo istante, le due palline si trovano alla stessa quota verticale. In particolare, le due palline arrivano a terra nello stesso istante.

Inoltre possiamo esaminare il fenomeno per avere la conferma della sovrapposizione dei moti.

Il moto della coordinata y della seconda pallina è uguale al moto della pallina lasciata cadere, cioè è un moto uniformemente accelerato con accelerazione g	In intervalli di tempo uguali, la coordinata x della seconda pallina aumenta di quantità Δx uguali, cioè (come avevamo previsto) compie un moto rettilineo uniforme.

Abbiamo così confermato sperimentalmente che il moto della pallina ha proprio le proprietà che abbiamo calcolato applicando il secondo principio della dinamica.

approfondimento

La parabola

La parabola, con vertice nell’origine degli assi, ha equazione y = ax². Quando, come in questo caso, il coefficiente a è negativo, la concavità è rivolta verso il basso.