Capitolo Le forze e i moti

La velocità angolare

L’angolo in radianti

Dato un angolo \(A\hat OB\), la sua ampiezza in radianti si definisce considerando una circonferenza di raggio r centrata nel vertice O e indicando con l la lunghezza dell’arco AB di circonferenza intercettato dall’angolo (figura 11).

L’ampiezza a di un angolo, espressa in radianti, è data dal rapporto tra la lunghezza dell’arco AB e il valore del raggio della circonferenza:

 

 

Di conseguenza, l’angolo che misura un radiante è quello che intercetta un arco di circonferenza lungo quanto il raggio della circonferenza stessa. Il suo valore in gradi è di circa 57° 18'.

L’angolo giro intercetta l’intera circonferenza, cioè ha l = 2πr. Quindi l’ampiezza in radianti dell’angolo giro è

 

Partendo dall’angolo giro si possono ottenere le ampiezze in radianti degli altri angoli di uso comune. I loro valori sono contenuti nella tabella seguente. 

L’angolo in radianti, essendo dato dal rapporto l/r tra due grandezze dello stesso tipo, ha le dimensioni fisiche di un numero puro.

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Figura 11

Arco l intercettato dall’angolo α.
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In generale, se indichiamo con \(\alpha\) l’ampiezza in radianti di un angolo e con \(g^{\circ} \) la sua misura in gradi, vale la relazione:

\[\frac{\alpha }{{g^\circ }}{\rm{ = }}\frac{\pi }{{{\rm{180}}^\circ }}\]
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Gradi 30° 45° 60° 90° 120° 180° 270° 360°
Radianti 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 π 3π/2
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