Per giustificare il dualismo onda-corpuscolo gli scienziati del ventesimo secolo non poterono fare a meno di rivedere la descrizione della materia accettata nel secolo precedente. Uno dei primi a formulare una teoria efficace (nel 1927) fu lo scienziato austriaco Erwin Schrödinger, che introdusse il concetto principale della teoria quantistica.

Schrödinger sostituì al concetto di traiettoria precisa della particella quello di funzione d’onda, ψ, una funzione matematica il cui valore varia con la posizione. Le funzioni d’onda sono funzioni matematiche come sin x, una funzione che varia come un’onda, ed e^–x , una funzione che declina esponenzialmente verso lo zero.

Fu  il fisico tedesco Max Born a suggerire il modo di interpretare fisicamente il senso della funzione d’onda. Secondo l’interpretazione di Born della funzione d’onda, la probabilità di rinvenire la particella in una data regione è proporzionale al valore di ψ² (figura 1.20). Per essere precisi, ψ² individua una densità di probabilità, cioè il rapporto tra la probabilità di trovare la particella entro una piccola regione e il volume di tale regione. Di conseguenza, per calcolare la probabilità che la particella si trovi in una piccola regione dello spazio, moltiplicheremo ψ² per il volume di tale regione. Per esempio, se in un punto ψ² = 0,1 pm^–3, allora la probabilità di rinvenire la particella in una regione di volume 2 pm³ situata in quel punto sarebbe (0,1 pm^-3) × (2 pm³) = 0,2, ossia 1 possibilità su 5. Secondo l’interpretazione di Born, ovunque ψ² sia grande, la particella presenta elevata densità di probabilità mentre, dove ψ² è piccola, la particella possiede bassa densità di probabilità.

Ovunque ψ si annulli, e perciò sia zero anche ψ², per la particella si ha densità di probabilità zero. Il punto in cui ψ passa per lo zero (e non semplicemente raggiunge lo zero) si definisce nodo della funzione d’onda; ciò permette di dire che in corrispondenza di un nodo la particella ha densità di probabilità nulla.

L’equazione  di Schrödinger si usa per calcolare sia la funzione d’onda ψ, sia la corrispondente energia E. L’equazione più semplice da risolvere è quella relativa alla cosiddetta particella nella scatola (figura 1.21), che è un sistema in cui una piccola particella è ristretta tra due pareti rigide a distanza L l’una dall’altra. Secondo la meccanica quantistica, la particella nella scatola può presentare soltanto alcune lunghezze d’onda λ; così come la corda di una chitarra fissata alle due estremità non può essere percorsa da onde aventi λ qualsiasi, alla scatola si adattano soltanto certe lunghezze d’onda, tali che soddisfino la relazione

\[L = n \times \frac{\lambda }{2}\]

In altre parole, le sole onde che possono formarsi sono quelle la cui semilunghezza d’onda,\(\frac{\lambda }{2}\), si ripete un numero intero di volte nella lunghezza della corda o nella distanza L fra le due pareti della scatola (figura 1.22). Il numero intero n contraddistingue la funzione d’onda e prende il nome di numero quantico.

Si può dimostrare che l’energia della particella nella scatola dipende dal valore di n e risulta pertanto quantizzata, vale a dire circoscritta a una serie di valori discreti che chiamiamo livelli energetici. La differenza tra la descrizione classica e quella quantistica dell’energia è come quella che sussiste tra la descrizione macroscopica e molecolare dell’acqua: quando si versa l’acqua da un secchio, ci sembra come un fluido continuo trasferibile in qualsiasi misura, comunque piccola. In realtà, la minima quantità che si può trasferire è una molecola H₂O, ossia un «quanto» di acqua.

Concetto chiave

La densità di probabilità che una particella si trovi in un certo sito è proporzionale al quadrato della funzione d’onda in quel punto; la funzione d’onda si trova risolvendo l’equazione di Schrödinger della particella. Quest’ultima è in grado di possedere solo determinate energie.