Grandezze e misure
Notazione scientifica e ordini di grandezza
L’uso delle stesse unità di misura ufficiali, per ogni situazione e in qualsiasi contesto, comporta necessariamente la comparsa di numeri molto grandi o molto piccoli.
Per esempio, se usassimo i metri per rappresentare le dimensioni di una molecola d’acqua dovremmo scrivere qualcosa del tipo 0,000 000 000 1 m; mentre per rappresentare le dimensioni del Sole dovremmo scrivere qualcosa del tipo 1 000 000 000 m.
L’espressione sintetica di tali misure attraverso i prefissi non esaurisce le possibilità di scriverle in modo ancora più compatto ed elegante. Un’altra complementare possibilità è infatti data dalla cosiddetta notazione scientifica, che consiste nell’esprimere i valori per mezzo delle potenze di 10.
L’idea è quella di dividere o moltiplicare per 10 il numero in questione tante volte fino a quando il suo valore non risulti compreso tra 1 e 10, e di moltiplicare il risultato per la potenza di 10 utilizzata nell’operazione. Per esempio, se si divide quattro volte per 10 il numero 45 000 si arriva al valore 4,5: il numero 45 000 in notazione scientifica si scrive pertanto così:
4,5 è il risultato della divisione per 10 000 (cioè quattro volte per 10), e 104 è la potenza di 10 che esprime il divisore.
Un numero scritto in notazione scientifica è formato da un numero compreso tra 1 e 10 moltiplicato per una potenza di 10.
Esempio
7 804 000 = 7,804 × 106
88 000 000 = 8,8 × 107
1 234 000 000 = 1,234 × 109
529 000 = 5,29 × 105
Domanda Il numero 46,7 × 105 non è scritto in notazione scientifica. Perché? Quale dovrebbe essere la sua scrittura corretta?
Quando abbiamo a che fare con un numero molto piccolo, invece di dividere per potenze di 10 dobbiamo moltiplicare, e l’esponente di 10 è espresso con un valore negativo.
Esempio
0,081 = 8,1 × 10−2
0,00 000 123 = 1,23 × 10−6
0,000 702 = 7,02 × 10−4
0,000 006 005 = 6,005 × 10−6
Domanda Come si scrive il numero 68 055 × 10−9 in notazione scientifica?
La notazione scientifica apparentemente può sembrare un’inutile complicazione, perché comunque il valore numerico resta invariato, ma in realtà nella fisica è molto importante, poiché consente di leggere immediatamente il cosiddetto ordine di grandezza di una misura, cioè la scala del fenomeno che si sta considerando (figura 17).
Se, per esempio, ci muoviamo in una stanza, i nostri spostamenti si svolgeranno entro pochi metri: diciamo che l’ordine di grandezza degli spostamenti nella stanza è il metro. Se ci muoviamo all’interno di una cittadina ci spostiamo al più di qualche kilometro, e in questo caso diciamo che l’ordine di grandezza è il migliaio di metri. Se invece percorriamo l’Italia in tutta la sua lunghezza, il nostro spostamento è dell’ordine del migliaio di kilometri, cioè del milione di metri.
La notazione scientifica ci mostra immediatamente l’ordine di grandezza attraverso la potenza di 10. Ecco alcuni ipotetici spostamenti cittadini il cui ordine di grandezza è 103 m:
L’ordine di grandezza di un viaggio in autostrada da Milano a Reggio Calabria è di 106 m:
L’ordine di grandezza di un numero è il numero di potenze di 10 in esso contenute.
Esempio
Considerando una media di 80 anni, qual è, in secondi, l’ordine di grandezza della durata di una vita umana?
Soluzione
80 anni = 80 × 365 giorni = 29 200 × 24 h =
= 700 800 × 3600 s = 2 522 880 000 s
Per la valutazione dell’ordine di grandezza interessa solo la potenza di 10 contenuta nel numero, per cui
80 anni = 2,5 × 109 s
Cioè l’ordine di grandezza della durata di una vita umana è 109 s.
Domanda Qual è l’ordine di grandezza in metri della distanza della Terra dal Sole?
Quando un numero è molto vicino alla potenza di 10 successiva si può usare come ordine di grandezza quest’ultima in quanto migliore approssimazione. Per esempio, l’ordine di grandezza di 999 m (o anche di 850 m o di 780 m) può essere considerato 1000 m.
Gli ordini di grandezza dei numeri possono essere confrontati tra loro facendo semplicemente il rapporto fra le potenze di 10 della loro notazione scientifica.
Esempio
La troposfera è lo strato più basso dell’atmosfera, quello nel quale avvengono i fenomeni meteorologici. Si estende dalla superficie terrestre fino a un’altezza di circa 15 km.
Confrontando questa con la distanza tra la Terra e la Luna pari a circa 400 000 km, si ottiene
altezza troposfera 15 km = 15 000 m = 1,5 × 104 m
distanza Terra-Luna 400 000 km = 400 000 000 m = 4 × 108 m
\( \mathrm{\frac{{\mathrm{10}}^{{\scriptsize 8}}}{{\mathrm{10}}^{{\scriptsize 4}}}} \) = 104 = 10 000
La distanza della Luna dalla Terra supera di 4 ordini di grandezza l’altezza delle nuvole.
Domanda Quanti sono gli abitanti di Roma? Confrontane l’ordine di grandezza con quello del numero di abitanti di Shangai.
L’ordine di grandezza del numero di capelli su una testa è 105; l’ordine di grandezza del numero di neuroni in un cervello umano è 1011; l’ordine di grandezza delle sinapsi, cioè delle connessioni tra neuroni, è 1014.
