Capitolo Grandezze e misure

Proprietà della materia: massa, volume, densità

Nel linguaggio comune diciamo che il ferro è «più pesante» del polistirolo, perché effettivamente se prendiamo una pallina di ciascun materiale e la soppesiamo con la mano avvertiamo subito una differenza: il ferro preme sul palmo, mentre il polistirolo quasi non si sente.

La nostra intuizione ha qualcosa di corretto, ma in fisica è necessario essere più precisi: innanzitutto è meglio parlare di massa e non di peso. Entrambe le palline, infatti, nello spazio, lontane da stelle o pianeti, perderebbero il loro peso ma non perderebbero la loro massa.

Si potrebbe dire allora che «il polistirolo ha una massa minore del ferro», ma anche questa non è un’affermazione fisicamente corretta: è vera solo se ci riferiamo alle palline che stanno sul palmo della nostra mano, ma non in generale. Chi ci vieta di prendere un volume di polistirolo più grande, fino a portare la bilancia in equilibrio (figura 18)?

Per essere più precisi dobbiamo dire che un certo volume di ferro ha una massa maggiore di un uguale volume di polistirolo. Non dobbiamo quindi confrontare masse e volumi separatamente, ma una loro combinazione, che chiamiamo densità, così definita:

\[ \rho\hspace{0.125em}=\;{\frac{m}{V}} \]

La densità ρ di un corpo è uguale al rapporto tra la sua massa m e il suo volume V; la sua unità di misura nel SI è il kilogrammo al metro cubo, kg/m3.

L’affermazione che esprime correttamente la nostra intuizione è dunque: il ferro è «più denso» (e non «più pesante») del polistirolo.

Ogni sostanza ha un valore della densità che la caratterizza rispetto alle altre, per cui se prendiamo diversi volumi di ferro, ne misuriamo la massa e ne calcoliamo il rapporto otteniamo sempre lo stesso valore (tabella 7). Il materiale solido meno denso che esiste è una gelatina artificiale composta di aria e silice (vetro), detta aerogel (figura 19).

Figura 18.
Figura 18.openA parità di dimensioni, la pallina di polistirolo ha una massa minore della pallina di ferro. Occorrono diverse centinaia di palline di polistirolo per uguagliare la massa di una pallina di ferro.
Tabella 7. Densità di alcune sostanze.

MATERIALE

DENSITÀ (kg/m3)

Oro

19 300

Mercurio

13 600

Piombo

11 340

Ferro

7880

Roccia basaltica

2900

Marmo

2800

Alluminio

2700

Vetro

2500

Acqua di mare

1030

Acqua (4 °C)

1000

Paraffina

950

Olio di oliva

920

Legno

750

Benzina

700

Sughero

300

Polistirolo

20-50

Aria

1,2

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Figura 19.
Figura 19.openL’aerogel è un materiale artificiale oltre 700 volte meno denso del vetro. Si tratta di una gelatina solida in cui al posto del liquido c’è un aeriforme.

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Operazioni tra grandezze fisiche diverse

Mentre non si possono eseguire operazioni di sottrazione o di addizione tra grandezze fisiche non omogenee (non ha senso sommare una massa a un volume), per la divisione e la moltiplicazione è necessario fare qualche precisazione.

La densità, per esempio, è stata definita proprio come rapporto tra una massa e un volume: dalla divisione di due grandezze ne è derivata una terza (tabella 8). Questo fatto vale anche per la moltiplicazione, per cui si ottiene una regola generale:

Ogni volta che si moltiplicano o si dividono tra loro grandezze fisiche diverse si ottiene una nuova grandezza fisica.

A ben guardare, però, l’operazione di divisione riguarda soltanto il valore numerico, mentre le grandezze fisiche non vengono modificate dall’operatore e restano espresse nelle rispettive unità di misura. Per esempio, se 0,5 m3 di ferro hanno una massa di 3935 kg, la densità del ferro vale

\[ {\mathrm{\rho}}_{{\scriptsize \mathrm{F}}}\;=\;{\frac{m}{V}}\;=\;\mathrm{\frac{{\mathrm{3936}}\hspace{0.125em}{\mathrm{kg}}}{{0,5}\hspace{0.125em}\,{\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}}}}\;=\;\mathrm{\frac{\mathrm{3936}}{0,5}}\,{\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}}\;=\;{\mathrm{7870}}\hspace{0.125em}\,{\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}} \]

dove l’unità di misura derivata, kg/m3, tiene conto del fatto che c’è un rapporto tra massa e volume: si dice infatti «kilogrammi al metro cubo», a indicare che ogni metro cubo di ferro ha una massa pari a 7870 kg. La densità è dunque il valore della massa di un’unità di volume (nel SI un’unità di volume è 1 m3). 

Tabella 8. La densità è una grandezza fisica derivata.
GRANDEZZA DERIVATA SCRITTURA ATTRAVERSO LE GRANDEZZE FONDAMENTALI UNITÀ DI MISURA
densità
\[
{\rho}=\frac{m}{V}
\]

\[
\frac{m}{\mathrm{\ell}\times\mathrm{\ell}\times\mathrm{\ell}}=\frac{m}{{\mathrm{\ell}}^{3}}
\]
kilogrammo al metro cubo\[ \mathrm{\frac{{\mathrm{k}} {\mathrm{g}}}{{\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}}}} \]
open

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Come si utilizza la formula della densità

Vediamo ora come si usano le formule in fisica per ricavare dati incogniti a partire da dati conosciuti, aiutandoci con qualche esempio.

Esempio

Un volume pari a 1 dm3 di polistirolo espanso ha una massa pari a 50 g. Quanto vale la sua densità?

Soluzione I dati noti sono volume e massa, ma sono espressi mediante sottomultipli delle unità fondamentali, e vanno trasformati in m3 e in kg:

V = 1 dm3 = 0,001 m3

m = 50 g = 0,05 kg

Sostituendo direttamente i dati nella formula (1.1) avremo:

\[ \mathrm{\rho}\;\mathrm{=}\;{\frac{m}{V}}\;\mathrm{=}\;\mathrm{\frac{0,05\,{kg}}{0,001\, {m}^{\scriptsize 3}}}=\;\mathrm{\frac{0,05}{0,001}}\;\mathrm{{k}{g}\mathrm{/}\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}}\;=\;\mathrm{{{50}}\;{{k}{g}{/}{m}}^{{\scriptsize 3}}} \]

Domanda Un pezzo di metallo ha una massa di 7,88 g e un volume di 1 cm3. Di quale metallo si tratta? (ricava l’informazione dalla tabella 7).

Esempio

Calcola il volume di 100 g di oro.

Soluzione Operiamo sulla formula (1.1) per ricavare un’espressione per il volume: moltiplichiamo per V e dividiamo per ρ:

\[
\begin{array}{l}
{\mathrm{\rho}\;\cdot\frac{\mathrm{\rho}}{V}=\frac{m}{V}\cdot\frac{V}{\mathrm{\rho}}}\\
{{V}\;=\frac{m}{\mathrm{\rho}}}
\end{array}
\]

Guardando la tabella 8 :

ρ = 19 300 kg/m3

m = 100 g = 0,100 kg

Sostituendo i dati nella formula avremo:

\[ {V}\;=\;{\frac{m}{\mathrm{\rho}}}\;=\;\mathrm{\frac{{0,100}\hspace{0.125em}{\mathrm{kg}}}{{\mathrm{19}}\hspace{0.125em}{\mathrm{300}}\hspace{0.125em}{\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}}}}\;=\;{5,18}\times{\mathrm{10}}^{{\scriptsize -}{{\scriptsize 6}}}\;\mathrm{\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}}}}\;=\;{5,18}\times{\mathrm{10}}^{{\scriptsize -}{{\scriptsize 6}}}\;{\mathrm{m}}^{{\scriptsize 3}} \]

Domanda A quanti cm3 corrispondono 5,18 × 10−6 m3 di legno?

Esempio

Quanto vale la massa di 1 L di olio d’oliva?

Soluzione Dobbiamo ricavare la massa a partire dalla formula della densità (1.1), cioè dobbiamo trasformarla in un’espressione in cui la massa compare al primo membro senza coefficienti che la moltiplicano. Nella formula della densità la massa è divisa per un volume, per cui moltiplichiamo entrambi i membri per V/ρ e otteniamo:

\[
\mathrm{\rho}\cdot{V}=\frac{m}{V}\cdot{V}
\]

Quindi

m = ρ ⋅ V

La densità dell’olio di oliva si ricava dalla tabella 7; il volume va trasformato in m3, ricordando che 1 L è equivalente a un volume di 1 dm3:

ρ = 920 kg/m3

V = 1 L = 1 dm3 = 0,001 m3

Sostituendo direttamente i dati nella formula avremo:

m = ρ ⋅ V = 920 kg/m3 × 0,001 m3 =

= 0,920 (kg/m3) m3 = 0,920 kg

Domanda A quale grandezza fisica corrisponde il rapporto tra una massa e una densità?


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Divisione tra grandezze omogenee

Nell’esempio precedente abbiamo semplificato l’unità di misura m3, come se fosse un numero qualsiasi, perché compariva sia al numeratore sia al denominatore. Questo modo di operare porta a risultati corretti (la massa è infatti espressa correttamente in kg) e mostra che il rapporto fra due grandezze omogenee non è una grandezza fisica ma un numero puro, senza unità di misura.

Per esempio:

\[ \mathrm{\frac{{6}\hspace{0.125em}{\mathrm{m}}}{{2}\hspace{0.125em}{\mathrm{m}}}}\;=\;{3} \]

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