In questo capitolo trascuriamo la resistenza dell’aria, per cui il moto di caduta di un corpo ha luogo con accelerazione costante g. Anche un corpo lanciato verso l’alto o verso il basso effettua un moto con accelerazione g. In generale si dice che
Per studiare un moto di caduta libera basta quindi applicare le formule del moto rettilineo uniformemente accelerato. In genere si sceglie un sistema di riferimento in cui la posizione del corpo è riferita a un asse verticale con l’origine a livello del terreno. Il senso positivo dell’asse è diretto verso l’alto e quindi l’accelerazione g è sempre negativa, mentre la velocità del corpo è positiva quando il corpo sale e negativa quando scende.
MindbuildingSimmetrie del moto di caduta di un corpo lanciato verso l’alto
Consideriamo un corpo lanciato verso l’alto dalla quota s0 = 0 m con velocità v0.
| 1La sua legge oraria è: |
2Il corpo è in caduta libera, cioè è soggetto all’accelerazione di gravità g, e la sua legge velocità-tempo è: |
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\[ {{s}}\;=\;{{v}}_{0}{{t}}\;-\frac{1}{2}{{gt}}^{2} \]
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\[v = {v_0} - gt\]
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A causa dell’accelerazione di gravità la velocità del corpo, inizialmente positiva, diminuisce progressivamente, fino a quando si annulla nel punto più alto della traiettoria. Ciò avviene all’istante di tempo t tale che
\[0 = {v_0} - gt\]
cioè
\[ {{t}}_{{S}}\;=\;\frac{{{v}}_{0}}{{g}} \]
In quell’istante, il corpo raggiunge la massima altezza:
\[ {{s}}\;=\;{{v}}_{0}\frac{{{v}}_{0}}{{g}}-\frac{1}{2}{{g}}{\left({\frac{{{v}}_{0}}{{g}}}\right)}^{2}=\, \frac{{{v}}_{0}^{2}}{2{g}} \]
Per calcolare a quale istante il corpo tocca terra, cioè quando torna nell’origine del moto, poniamo s = 0 m nella sua legge oraria:
\[ {0}\;=\;{{v}}_{0}{{t}}\;-\frac{1}{2}\:{{gt}}^{2} \]
Raccogliamo t e scriviamo l’equazione nella forma:
\[ {{t}}\>\left({{{v}}_{0}\;-\frac{1}{2}\:{{gt}}}\right)=\; {0} \]
Le due soluzioni sono t = 0 s, che corrisponde all’istante iniziale, e t = 2v0/g. Notiamo che quest’ultimo è il doppio del tempo ts = v0/g necessario per arrivare alla massima altezza, quindi la discesa dura:
\[ {{t}}_{{D}}\;=\;{2}\:\frac{{{v}}_{0}}{{g}}-\;{{t}}_{{S}}\;=\;{2}\:\frac{{{v}}_{0}}{{g}}-\frac{{{v}}_{0}}{{g}}=\frac{{{v}}_{0}}{{g}} \]
Come si poteva prevedere,
il tempo di salita è uguale al tempo di discesa.
Per calcolare la velocità con cui giunge a terra, inseriamo nella legge velocità-tempo il valore t = 2v0/g:
\[ {{v}}\, =\, {{v}}_{0}-{{g}}\:\frac{2{{v}}_{0}}{{g}}=\;-{{v}}_{0} \]
Il corpo arriva a terra con una velocità che ha lo stesso modulo di quella iniziale ma verso opposto. In generale
in ogni punto della sua traiettoria la velocità del corpo ha lo stesso modulo in salita e in discesa.
Per dimostrarlo utilizziamo la (9) con a = g:
\[v^{2} = v_{0}^{2} - 2gs\]
Per ogni data posizione s, l’equazione ha due soluzioni
\[ {{v}}\;=\;\mathrm{\pm}\sqrt{{{v}}_{0}^{2}-{2}{{gs}}} \]
che hanno lo stesso modulo e segno opposto: la velocità di salita è positiva, mentre quella di discesa è negativa.
L’accelerazione di gravità
