Capitolo Il moto in una dimensione

La velocità

La velocità media

Per caratterizzare la rapidità del moto di un corpo non basta considerarne lo spostamento; bisogna anche valutare quanto tempo impiega a compierlo. Più precisamente, bisogna calcolare la sua velocità media.

La velocità media \( \overline{{v}} \) di un corpo è il rapporto fra lo spostamento del corpo e l’intervallo di tempo Δt in cui è avvenuto:
\[ \overline{{v}}=\frac{\mathrm{\Delta}{{s}}}{\mathrm{\Delta}{{t}}} \]

Dentro la formula

  • La velocità media si misura in metri al secondo:
  • Se un corpo è nella posizione s1 all’istante t1 e nella posizione s2 all’istante t2, la sua velocità media nell’intervallo di tempo fra t1 e t2 si calcola con la formula:
\[ \overline{{v}}=\frac{{{s}}_{2}-{{s}}_{1}}{{{t}}_{2}-{{t}}_{1}} \]

   

Esempio

 

L’intervallo di tempo Δt è sempre positivo, per cui il segno della velocità media dipende dal segno dello spostamento.

1Quando il moto avviene nel verso positivo dell’asse, cioè s2 > s1, e quindi lo spostamento Δs = s2s1 è positivo, la velocità media è positiva:
\[ \overline{{v}}=\frac{{7}\,{\mathrm{m}}-{1}\,{\mathrm{m}}}{{3}\,{\mathrm{s}}-{1}\,{\mathrm{s}}}=+{3}\,{{\mathrm{m}}\hspace{1pt}}\mathrm{/}{\mathrm{s}} \]
 
2Quando il moto avviene nel verso negativo dell’asse, cioè s2 < s1, e quindi lo spostamento Δs = s2sè negativo, la velocità media è negativa:
\[ \overline{{v}}=\frac{{1}\,{\mathrm{m}}-{9}\,{\mathrm{m}}}{{4}\,{\mathrm{s}}-{2}\,{\mathrm{s}}}=-{4}\,{{\mathrm{m}}\hspace{1pt}}\mathrm{/}{\mathrm{s}} \]
 
Camminata veloce 2 m/s
Corsa veloce 1 · 10 m/s
Aereo di linea 3 · 102 m/s
Suono nel vetro 5 · 103 m/s
Terra nel moto attorno al Sole 3 · 104 m/s
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La velocità

Conversione tra m/s e km/h

Nel Sistema Internazionale la velocità si misura in metri al secondo, ma nella vita quotidiana si usano quasi sempre i kilometri all’ora. Per convertire queste unità una nell’altra ricordiamo che 1 km = 1000 m e t = 20 s. Si ha:

\[ {1}\,{{\mathrm{km}}\hspace{1pt}}\mathrm{/}{\hspace{1pt}{\mathrm{h}}}\:  =\frac{{1}\,{\mathrm{km}}}{{1}\,{\mathrm{h}}}\: =\frac{{\mathrm{1000}}\,{\mathrm{m}}}{{\mathrm{3600}}\,{\mathrm{s}}}=\frac{{1}\cdot{10}^{3}\,{\mathrm{m}}}{{3,\!6}\cdot{10}^{3}\,{\mathrm{s}}}=\frac{1}{3,\!6}{{\mathrm{m}}\hspace{1pt}}\mathrm{/}{\mathrm{s}} \]

Quindi:

1Per convertire in m/s una velocità espressa in km/h bisogna dividere il suo valore numerico per 3,6 km/h m/s
dividi per 3,6
\[\mathrm{90\, km/h = \frac{90}{3,\!6}\; m/s = 25\, m/s}\]
2Per convertire in una velocità espressa in bisogna moltiplicare il suo valore numerico per 3,6 m/s km/h
moltiplica per 3,6
\[\mathrm{20\,m/s = 20 \cdot 3,\!6\,km/h = 72\,km/h}\]

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La velocità

La velocità istantanea

Il treno a levitazione magnetica Transrapid percorre i 30 km che separano Shanghai dall’aeroporto a una velocità media di 250 km/h. 

Durante il tragitto, la velocità del treno cambia: per esempio, in alcuni istanti raggiunge una velocità massima di 431 km/h. Per determinare la velocità in un dato istante, cioè la velocità istantanea v, bisogna misurare lo spostamento Δs del treno in un intervallo di tempo Δt molto piccolo e calcolare la velocità media \( \overline{{v}}={\mathrm{\Delta}{{s}}}\mathrm{/}{\mathrm{\Delta}{{t}}} \). Se Δt è molto piccolo, la velocità del treno rimane praticamente invariata durante la misurazione e coincide proprio con la velocità media durante quell’intervallo di tempo. Quindi la velocità istantanea è

\( v = \overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \) quando Δt è sufficientemente piccolo

Più precisamente:

la velocità istantanea è il valore limite a cui tende il rapporto Δst quando Δt tende a zero:
\[ {{v}}\;=\;\mathop{\lim}\limits_{\mathrm{\Delta}{{t}}\mathrm{\rightarrow}{0}}\frac{\mathrm{\Delta}{{s}}}{\mathrm{\Delta}{{t}}} \]

Dentro la formula

  • La formula si legge così: «v è il limite a cui tende il rapporto Δst per Δt tendente a zero».
  •  Lo spostamento Δs diminuisce al diminuire dell’intervallo di tempo Δt in cui si misura: quindi Δs tende a zero quando Δt tende a zero. Però il rapporto Δvt non perde significato, ma tende alla velocità istantanea v.

Esempio

Per stimare con buona approssimazione la velocità istantanea di un corpo in moto è in genere sufficiente utilizzare un intervallo di tempo di 10−3 s.

Il tachimetro indica la velocità istantanea di un’automobile, ma in realtà misura la velocità media in un intervallo di tempo molto piccolo.

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