Nella risoluzione di molti problemi è utile conoscere la relazione che lega lo spostamento alla velocità. Per determinarla, consideriamo un corpo che parte all’istante t0 = 0 s con velocità v0 e poi si muove con accelerazione costante a; nell’intervallo Δt = t − t0 = t il suo spostamento Δs è dato dall’espressione
\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\;\overline{{v}}{{t}} \]
dove \( \overline{{v}} \) è la sua velocità media. La sua velocità all’istante t è v = v0 + at; risolvendo rispetto a t si ha:
\[ {{t}}\, =\frac{{{v}}-{{v}}_{0}}{{a}} \]
Sostituendo questa relazione nella precedente si ottiene:
\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\;\overline{{v}}\>\frac{{{v}}-{{v}}_{0}}{{a}} \]
La velocità media è:
\[ \overline{{v}}=\frac{1}{2}\>\left({{{v}}_{1}+{{v}}_{2}}\right) \]
Quindi
\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\frac{1}{2}\>\left({{{v}}+{{v}}_{0}}\right)\>\frac{{{v}}-{{v}}_{0}}{{a}} \]
Eseguendo i calcoli si ottiene la relazione cercata:
\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\frac{{{v}}^{2}-{{v}}_{0}^{2}}{2{a}} \]
Questa può essere scritta anche nella forma:
\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a \, \Delta s\]
Quanto?L’accelerazione di un proiettile
Un proiettile esce dalla canna di un fucile lunga 0,7 m alla velocità di 200 m/s. La sua accelerazione media è:
\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\, =\, \frac{{{v}}^{2}}{2{a}}\qquad\mathrm{\Rightarrow}\qquad{{a}}\, =\, \frac{{{v}}^{2}}{{2}\:\mathrm{\Delta}{{s}}}\, =\, \frac{{\left({{2}\cdot{10}^{2}\,{{\mathrm{m}}\hspace{1pt}}{/}{\mathrm{s}}}\right)}^{2}}{{2}\cdot{0,\!7}\,{\mathrm{m}}}\, =\; {3}\cdot{10}^{4}\,{{{\mathrm{m}}\hspace{1pt}}{/}{\mathrm{s}}}^{2} \]
La legge velocità-tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato
