Capitolo Il moto in una dimensione

Il moto rettilineo uniformemente accelerato

La legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

Le caratteristiche del moto uniformemente accelerato sono contenute nella sua legge oraria.

Se un corpo si muove lungo una retta con accelerazione costante a e all’istante t = 0 s occupa la posizione s0 e ha velocità v0, al generico istante tla sua posizione è data dalla formula

\[ {{s}}\;=\;{{s}}_{0}\;+\;{{v}}_{0}{{t}}\;+\frac{1}{2}\:{{at}}^{2} \]

Dentro la formula

  • Se a = 0 m/s2 la velocità resta costante e la (7) si riduce alla legge oraria del moto rettilineo uniforme s = s0 + vt.
  • Il termine v0t è il contributo allo spostamento dato dalla velocità iniziale v0.
  • Il termine (1/2)at2 è il contributo allo spostamento dovuto al fatto che la velocità cambia durante il moto.

Esempio

Se un corpo parte da fermo con accelerazione costante, il suo spostamento cresce col quadrato del tempo.

Per dimostrare la (7) determiniamo lo spostamento Δs del corpo a partire dalla sua velocità media \( \overline{{v}} \) nell’intervallo Δt:

\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\;\overline{{{v}}\:}\mathrm{\Delta}{{t}} \]

Se il corpo è nella posizione s0 all’istante t0 = 0 s, la sua posizione s al generico istante t è

\[s = s_{0} + vt\]

Nel moto uniformemente accelerato, la velocità media è data dalla (6):

\[ \overline{{v}}=\frac{1}{2}\>\left({{{v}}_{0}+{{v}}}\right) \]

in cui la velocità iniziale è v0 e la velocità all’istante t è v:

\[ {{s}}\;=\;{{s}}_{0}+\overline{{v}}{{t}}\;=\;{{s}}_{0}+\frac{1}{2}\>\left({{{v}}_{0}+{{v}}}\right)\>{{t}} \]

La velocità v è legata alla velocità iniziale v0 e all’accelerazione a dalla (5) v = v0 + at. Sostituendo nella formula precedente si ottiene:

\[ {{s}}\;=\;{{s}}_{0}+\frac{1}{2}\>\left({{{v}}_{0}+{{v}}}\right){{t}}\;=\;{{s}}_{0}+\frac{1}{2}\>\left({{{v}}_{0}+{{v}}_{0}+{{at}}}\right){{t}}\;=\;{{s}}_{0}+\frac{1}{2}\>\left({{2}{{v}}_{0}+{{at}}}\right)\>{{t}} \]

da cui deriva la (7):

\[ {{s}}\;=\;{{s}}_{0}\;+\;{{v}}_{0}{{t}}\;+\frac{1}{2}\>{{at}}^{2} \]

Nel diagramma spazio-tempo, il grafico della legge oraria del moto uniformemente accelerato è un arco di parabola.

1All’istante iniziale t0 = 0 s:
s0 = 0 m, v0 = 0 m/s,		 2All’istante iniziale t0 = 0 s:
s0 = 4 m, v0 = 0 m/s		 3All’istante iniziale t0 = 0 s:
s0 = 1 m, v0 = −2 m/s
Accelerazione: a = 1 m/s2 Accelerazione: a = − 0,6 m/s2 Accelerazione: a = + 2 m/s2
Legge oraria:
s = (0,5 m/s2)t 2		 Legge oraria:
s = 4 m − (0,3 m/s2)t 2		 Legge oraria:
s = 1 m − (2 m/s)t + (1 m/s2)t 2
     
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