Capitolo Il moto in una dimensione

Il moto rettilineo uniformemente accelerato

Una formula utile

Nella risoluzione di molti problemi è utile conoscere la relazione che lega lo spostamento alla velocità. Per determinarla, consideriamo un corpo che parte all’istante t0 = 0 s con velocità v0 e poi si muove con accelerazione costante a; nell’intervallo Δt = t − t0 = t il suo spostamento Δs è dato dall’espressione

\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\;\overline{{v}}{{t}} \]

dove \( \overline{{v}} \) è la sua velocità media. La sua velocità all’istante t è v = v0 + at; risolvendo rispetto a t si ha:

\[ {{t}}\, =\frac{{{v}}-{{v}}_{0}}{{a}} \]

Sostituendo questa relazione nella precedente si ottiene:

\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\;\overline{{v}}\>\frac{{{v}}-{{v}}_{0}}{{a}} \]

La velocità media è:

\[ \overline{{v}}=\frac{1}{2}\>\left({{{v}}_{1}+{{v}}_{2}}\right) \]

Quindi

\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\frac{1}{2}\>\left({{{v}}+{{v}}_{0}}\right)\>\frac{{{v}}-{{v}}_{0}}{{a}} \]

Eseguendo i calcoli si ottiene la relazione cercata:

\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\;=\frac{{{v}}^{2}-{{v}}_{0}^{2}}{2{a}} \]

Questa può essere scritta anche nella forma:

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a \, \Delta s\]

Quanto?L’accelerazione di un proiettile

Un proiettile esce dalla canna di un fucile lunga 0,7 m alla velocità di 200 m/s. La sua accelerazione media è:

\[ \mathrm{\Delta}{{s}}\, =\, \frac{{{v}}^{2}}{2{a}}\qquad\mathrm{\Rightarrow}\qquad{{a}}\, =\, \frac{{{v}}^{2}}{{2}\:\mathrm{\Delta}{{s}}}\, =\, \frac{{\left({{2}\cdot{10}^{2}\,{{\mathrm{m}}\hspace{1pt}}{/}{\mathrm{s}}}\right)}^{2}}{{2}\cdot{0,\!7}\,{\mathrm{m}}}\, =\; {3}\cdot{10}^{4}\,{{{\mathrm{m}}\hspace{1pt}}{/}{\mathrm{s}}}^{2} \]

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