Quando il Nilo inondava le terre dell’antico Egitto i contadini perdevano i confini dei loro campi e, una volta ritiratasi la piena, si poneva il problema di ricalcolarli senza che nessuno ne fosse danneggiato (figura 4). Secondo la tradizione la geometria nacque proprio per far fronte a questa esigenza pratica di misurare proprietà terriere: in greco la parola geometria è composta da γεω (geo), che vuol dire «terra», e μετρον (metron), che vuol dire «misura».

La misura dello spazio fa dunque parte di una sapienza antica, e tutti più o meno sappiamo di che cosa si tratta, almeno a livello intuitivo. Qui però dobbiamo fare alcune precisazioni, per poter trattare le grandezze fisiche corrispondenti con il rigore necessario alla fisica. Facciamo subito una prima osservazione: comunemente parliamo di altezza, larghezza e profondità per indicare le tre direzioni dello spazio; in fisica non si opera tale distinzione, ma si parla indifferentemente di lunghezza in tutti e tre i casi. Dal punto di vista di un fisico, non c’è differenza tra le diverse direzioni, perché si tratta della stessa grandezza fisica, misurabile con lo stesso strumento di misura (tabella 3).

La più semplice misura di spazio è la lunghezza, la cui unità di misura è il metro. Durante la Rivoluzione francese fu costruita una barra di platino-iridio di lunghezza pari a un quarantamilionesimo di un meridiano terrestre e la si definì come campione del metro. Tale campione è ancora conservato nell’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres (vicino Parigi) (figura 5). Tuttavia, siccome la materia si può modificare nel tempo, dal 1983 è stata adottata una definizione del metro che utilizza la proprietà della luce di viaggiare nel vuoto a velocità costante. Si definisce il metro come l’intervallo di tempo che la luce impiega a percorrere una lunghezza pari a quella del campione di Sèvres secondo la definizione originaria.

L’unità di misura della lunghezza è il metro, definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 di secondo.

Tutti gli strumenti per misurare la lunghezza, dalla riga millimetrata alla fettuccia da sarto, dalla rotella metrica (figura 6) al calibro, fanno riferimento a questa definizione.

Tali strumenti si usano per confronto diretto con la lunghezza da misurare: si fa coincidere il loro inizio, individuato generalmente da una tacca contrassegnata con uno zero, con un’estremità della lunghezza da misurare e si legge su una scala graduata il valore più vicino all’altra estremità (figura 7).

Ovviamente non tutti gli strumenti forniscono lo stesso valore, perché alcuni di essi hanno tacche più ravvicinate di altri, cioè hanno una diversa sensibilità. Un righello millimetrato, le cui divisioni sono distanziate di 1 millimetro, ha una sensibilità maggiore rispetto a una fettuccia da sarto, che ha tacche distanziate di 5 millimetri.

In generale la sensibilità di uno strumento è il più piccolo valore della grandezza che lo strumento può rilevare.

Il risultato di una misura deve contenere informazioni sulla sensibilità dello strumento, per questo misure effettuate con strumenti con sensibilità diverse forniscono comunque risultati diversi anche se il valore numerico, dal punto di vista matematico, è lo stesso. C’è una grande differenza, infatti, tra un numero come ente matematico e la misura di una grandezza fisica:

• in matematica 3,0 o 3,00 hanno lo stesso valore, pari a 3;
• in fisica il valore 3,00 m contiene informazioni sui metri (tre), ma anche sui decimetri (zero) e sui centimetri (zero); mentre il valore 3,0 m contiene informazioni solo su metri e decimetri e il valore 3 m solo sui metri.

La prima misura è pertanto più precisa dell’ultima. Si dice che il valore 3,00 m ha tre cifre significative, mentre 3,0 m ha due cifre significative e 3 m una sola cifra significativa: le cifre significative si contano andando verso destra, a partire dal primo numero diverso da zero.

Il numero di cifre significative dà indicazioni sulla precisione della misura.

Con meno cifre significative abbiamo una stima più grossolana della grandezza in esame, mentre un maggiore numero di cifre significative ci avvicina a quello che possiamo definire il suo «valore vero».

Per misurare la lunghezza di una matita può essere sufficiente un righello, mentre per misurare la lunghezza di un banco è necessario prendere una riga più lunga (a meno di non voler segmentare l’operazione). Si dice che il righello ha una portata minore rispetto alla riga, perché è minore la lunghezza massima che può misurare in un’unica operazione di misura.

In generale la portata di uno strumento è il più grande valore della grandezza che lo strumento è in grado di misurare.

L’estensione di una superficie piana si può misurare direttamente attraverso il confronto con una superficie presa come unità di misura: basta contare quante volte è necessario sovrapporre l’unità alla superficie da misurare per ricoprirla completamente. Per esempio, se si prende per unità una piastrella, la superficie di una stanza è il numero di piastrelle necessarie per pavimentarla (figura 8).

Tuttavia la geometria rende possibile misurare l’estensione di una superficie regolare anche in modo indiretto, attraverso più misure di lunghezza. Se una stanza è rettangolare ci basta misurare la sua larghezza e la sua profondità e applicare la formula

Larghezza e profondità sono due lunghezze, pertanto l’area di un rettangolo risulta essere il prodotto di due lunghezze. Dal punto di vista fisico questo vale in generale per qualsiasi area, in quanto vale anche per un ipotetico rettangolo o quadrato usato come unità di misura.

Nel SI l’unità di misura dell’area di una superficie è il metro quadrato (m²), cioè l’area di un quadrato di lato pari a 1 m.

I multipli e sottomultipli del metro quadrato più usati sono i quadrati dei multipli e sottomultipli del metro, facendo però attenzione al fattore di moltiplicazione. A ogni fattore 10 in lunghezza corrisponde un fattore 100 in area (figura 9).

Per esempio, un metro è formato da dieci decimetri, per cui

Quindi, se

Per il volume si può fare un ragionamento analogo al caso della superficie, aggiungendo una terza dimensione. Il volume di un solido dal punto di vista fisico è pertanto dato dal prodotto di tre lunghezze: altezza, larghezza e profondità.

Nel SI l’unità di misura del volume è il metro cubo (m³), cioè il volume di un cubo di lato pari a 1 m.

I multipli e sottomultipli del metro cubo sono i cubi dei multipli e sottomultipli del metro, tenendo presente che a ogni fattore 10 in lunghezza corrisponde un fattore 1000 in volume. Se un metro è formato da dieci decimetri (figura 10), allora

Quindi se

allora

Spesso per scopi pratici i volumi si esprimono in litri (L). Un litro è equivalente a un volume pari a 1 dm³, cioè 1 m³ è equivalente a 1000 L. Il simbolo del litro, in assenza di prefissi, si scrive in maiuscolo, contrariamente alla regola che stabilisce che il simbolo va scritto in minuscolo eccetto nei casi in cui deriva da un nome proprio, perché altrimenti potrebbe creare confusione con la cifra 1.