I princìpi della dinamica e la relatività galileiana
Il principio di relatività galileiana
Le trasformazioni di Galileo
Anche se in due sistemi di riferimento inerziali valgono le stesse leggi della meccanica, la descrizione del moto può essere diversa. Per esempio nel sistema di riferimento del treno (che si muove a velocità costante), un libro risulta fermo; però, rispetto ai binari, il libro si muove di moto rettilineo uniforme.
Vogliamo trovare delle leggi che permettano di descrivere quantitativamente il moto in un certo sistema di riferimento inerziale S', se conosciamo le caratteristiche dello stesso moto in un altro sistema inerziale S (che potrebbe essere il sistema IRC).
Indichiamo con
- t l’istante di tempo misurato nel sistema di riferimento S;
- t' l’istante di tempo misurato nel sistema di riferimento S'.
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Per semplificare la trattazione, introduciamo due convenzioni (figura 5):
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Descriviamo con il vettore \({{\vec{V}}} \) la velocità (costante) con cui il sistema di riferimento S' si muove rispetto a S.
Così, conoscendo le grandezze misurate in S' è possibile calcolare le corrispondenti grandezze di S attraverso le relazioni:
\[ {{\left\{{\begin{array}{l}{{{\vec{{ s}}}}={{{\vec{{ s}}}'}}+{{\vec{{ V}}}}{{{{ t}}'}}}\\ {{{ t}}={{{{ t}}'}}} \end{array}}\right.}} \]
Da queste si ricavano le leggi che permettono di passare dalle quantità di S a quelle di S':
\[ {{\left\{{\begin{array}{l} {{{{\vec{{ s}}}'}}={{\vec{{ s}}}}{ {-}}{{\vec{{ Vt}}}}}\\ {{{{{ t}}'}}=\;{{ t}}} \end{array}}\right.}} \]
Le formule (1) e (2) sono dette trasformazioni di Galileo. In entrambe, la prima equazione afferma che gli spostamenti di un oggetto nei due sistemi inerziali sono legati da una relazione lineare nel tempo; la seconda equazione dice che il tempo scorre in modo uguale nei due sistemi.
Indichiamo ora con \( {{\vec{{ v}}}} \) la velocità di un punto materiale misurata nel riferimento S e con \( {{{\vec{{ v}}}'}} \) la velocità dello stesso oggetto rispetto a S'.
Che relazione c’è tra \( {{\vec{{ v}}}} \) e \( {{{\vec{{ v}}}'}} \)? Applicando la (1) a un piccolo intervallo di tempo \( \mathrm{\Delta} t = \mathrm{\Delta} {t}' \) si ha
Dividendo il primo membro per \( \mathrm{\Delta} t \) e il secondo membro per \( \mathrm{\Delta}{{{{ t}}'}} \) si ricava:
cioè:
Possiamo quindi affermare che:
la velocità di un oggetto rispetto a S è data dalla velocità dello stesso oggetto rispetto a S', sommata con la velocità di S' rispetto a S.
Figura 5
Sistemi di riferimento all’istante t = 0 s.
esempio
Su una strada rettilinea un’automobile A vede una seconda automobile B che la sorpassa alla velocità costante di 30 km/h. Una pattuglia stradale ferma sulla strada misura la velocità dell’automobile A, che risulta di 60 km/h.
Qual è la velocità dell’automobile B, misurata dalla pattuglia?
Il problema si risolve con la prima delle formule (3), anche se non c’è bisogno di utilizzare i vettori in quanto le velocità delle due auto hanno la stessa direzione e lo stesso verso.
Indichiamo con
- v' = 30 km/h la velocità dell’automobile B nel sistema di riferimento S' in cui A è ferma;
- V = 60 km/h la velocità di S' rispetto a S (sistema di riferimento in cui la pattuglia è ferma).
Allora la velocità v dell’automobile B in S è:
