Consideriamo un moto rettilineo vario, cioè che avviene con velocità variabile.
Per esempio, il grafico velocità-tempo della figura sotto rappresenta la velocità v (t) di un atleta che corre su una strada rettilinea.
Vogliamo determinare il valore della distanza Δs percorsa dall’atleta durante il suo moto tra l’istante t1 e l’istante t2.
Se il valore della velocità fosse costante e uguale a v, la distanza percorsa dal corridore nel suo moto sarebbe
Δs = vΔ t = v ( t2 − t1)
Nel corrispondente grafico velocità-tempo il prodotto v (t2 − t1) rappresenta l’area del rettangolo di altezza v e base (t2 − t1).
Siccome sappiamo calcolare le distanze soltanto nel caso di un moto con velocità costante, approssimiamo il moto della prima figura con un altro moto, più semplice da studiare, in cui l’atleta si muove con velocità costante v1 per un primo intervallo di tempo Δt1, poi cambia bruscamente velocità fino al un secondo valore v2, che mantiene per un altro intervallo di tempo Δt2, e così via.
Il grafico di questo moto approssimato è rappresentato nella figura sotto.
Grazie a questa procedura, siamo in grado di dare un valore approssimato alla distanza percorsa dal corridore durante il suo allenamento: è la somma delle quattro distanze Δs1, ..., Δs4 che possiamo calcolare nei quattro tratti percorsi a velocità costante.
Indichiamo questa distanza approssimata con il simbolo Δs(4) per sottolineare che è ottenuta approssimando il moto reale con quattro tratti a velocità costante:
\[\begin{align} \Delta s(4) &=\Delta {s_1}{\rm{ + }}\Delta {s_2}{\rm{ + }}\Delta {s_3}{\rm{ + }}\Delta {s_4}=\sum\limits_{k = 1}^4 \Delta {s_k}\\ &={v_1}\Delta {t_1}{\rm{ + }}{v_2}\Delta {t_2}{\rm{ + }}{v_3}\Delta {t_3}{\rm{ + }}{v_4}\Delta {t_4}=\sum\limits_{k = 1}^4 {{v_k}} \Delta {t_k}. \end{align}\]
In analogia a quanto detto prima, il valore di questa sommatoria ha un’interpretazione geometrica chiara: è la somma delle aree dei quattro rettangoli di basi Δt1, Δt2, ... e di altezze rispettivamente v1, v2, ... (figura seguente).
Certamente questo calcolo non fornisce un valore abbastanza preciso della distanza Δs; però la precisione del calcolo si può aumentare quanto si vuole scegliendo di approssimare il moto con un numero più grande di intervalli percorsi a velocità costante.
Per esempio, la figura seguente mostra che, raddoppiando il numero di intervalli, la linea rossa che descrive il moto con tratti di velocità costanti approssima meglio la linea azzurra del moto reale.
Così, anche il calcolo approssimato della distanza si avvicina di più al valore corretto.
Consideriamo allora il caso in cui il moto dell’atleta è approssimato usando n tratti a velocità costante e indichiamo con Δs (n) il valore della distanza corrispondente; generalizzando le formule scritte in precedenza nel caso n = 4, otteniamo:
\[\begin{align} \Delta s(n) &= \Delta {s_1}{\rm{ + }}\Delta {s_2}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}\Delta {s_n}=\sum\limits_{k = 1}^n \Delta {s_k}\\ &={v_1}\Delta {t_1} + {v_2}\Delta {t_2}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{v_n}\Delta {t_n}=\sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} \Delta {t_k} \end{align}\]
Aumentando il numero n di suddivisioni, la precisione del calcolo è via via crescente. Tuttavia, fino a che n è un numero finito, rimane sempre una differenza tra il valore approssimato Δs (n) e il valore Δs che vogliamo calcolare.
Quindi, per concludere il calcolo occorre fare crescere il numero di suddivisioni all’infinito; solo in questo modo la curva a tratti orizzontali approssima arbitrariamente bene la curva continua del grafico velocità-tempo. Così il valore di Δs si ottiene dal valore di Δs (n) quando n diventa infinitamente grande (e quindi tutti gli intervalli di tempo Δt1, Δt2, ... diventano infinitamente piccoli).
In questo caso, ciascuno dei rettangoli che fornisce la distanza percorsa in un singolo intervallo di tempo Δtk, con velocità costante vk, diventa «infinitamente stretto» (figura a lato).
La somma delle aree di questi (infiniti) rettangoli non è altro che l’area della parte di piano compresa tra l’asse delle ascisse, il grafico velocità-tempo e gli istanti di tempo t1 e t2 (figura seguente).
Dal punto di vista matematico l’aumento indefinito del numero di intervalli si esprime con la scrittura
\[\Delta s\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \Delta s\left( n \right)\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \sum\limits_{k = 1}^n \Delta {s_k}\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} \Delta {t_k}.\]
dove il simbolo \(\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \) si legge «limite per n che tende a più infinito». Il calcolo di questo limite si ottiene mediante un procedimento che si chiama «integrale definito» e si scrive come
\[\Delta s\;{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{v_k}} \Delta {t_k}\;{\rm{ = }}\int_{{t_1}}^{{t_2}} v \left( t \right)dt.\]
Anche diverse altre grandezze (tra cui il lavoro di una forza variabile e quello compiuto da una trasformazione termodinamica) sono date dall’area di una parte di piano in un sistema di riferimento opportuno.
La forma della traiettoria quando 
Moto uniformemente accelerato: Real Time Laboratory
