Il moto di un pendolo e quello di un’altalena sono moti oscillatori, in cui la traiettoria del moto è ripetuta diverse volte in versi opposti. Il modello più semplice di moto oscillatorio, in cui si trascurano gli effetti degli attriti che smorzano l’oscillazione, è quello del moto armonico.

Si chiama moto armonico il movimento che si ottiene proiettando su un diametro le posizioni di un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme.

Di conseguenza, la traiettoria del moto armonico è un diametro del moto circolare uniforme che lo genera. Questo diametro divide la traiettoria del moto circolare uniforme in due semicirconferenze.

Come è mostrato nella figura 21, il punto Q che si muove di moto armonico oscilla in un verso (per esempio quello negativo) mentre il punto P si muove su una delle semicirconferenze (per esempio quella superiore) e nel verso opposto quando P percorre l’altra semicirconferenza.

Nella figura il punto P è disegnato a intervalli di tempo uguali, duranti i quali esso percorre archi uguali. Invece si nota che, negli stessi intervalli di tempo, il punto Q che segue il moto armonico non percorre distanze uguali; per la precisione:

nelle zone centrali il moto armonico è più rapido e percorre distanze maggiori in tempi uguali; agli estremi il moto armonico è più lento e percorre distanze minori negli stessi tempi. Nei punti di inversione del moto la velocità istantanea del punto è nulla.

il periodo T, che è la durata di un’oscillazione completa avanti e indietro; l’ampiezza dell’oscillazione, che è la distanza tra il valore massimo della curva da quello centrale dell’oscillazione ed è uguale al raggio della circonferenza ideale che genera il moto armonico.

Con altri sensori è possibile studiare anche il grafico velocità-tempo del moto armonico e quello accelerazione-tempo; nelle figure seguenti questi grafici sono sovrapposti a quello spazio-tempo per avere un confronto.

Quindi,

il grafico spazio-tempo e quello accelerazione-tempo sono direttamente proporzionali, ma i segni delle due grandezze sono sempre opposti.

La curva che compare nel grafico spazio-tempo del moto armonico disegnata dal sensore di posizione si chiama cosinusoide. L’abbiamo ottenuta scegliendo un sistema di riferimento in cui l’origine s = 0 m è posta al centro dell’oscillazione e scegliendo l’istante t = 0 s nel momento in cui l’oscillazione è nel suo punto massimo. La formula che fornisce la posizione s in funzione dell’istante di tempo t è:

• All’istante iniziale il corpo è nel punto di massimo spostamento positivo dal centro dell’oscillazione.
• Dopo 1/4 di periodo passa per il punto centrale.
• Dopo 1/2 periodo è giunto al punto di massima oscillazione negativa.
• Dopo un periodo, l’oscillazione ricomincia.

Per la velocità istantanea nel moto armonico, il grafico velocità-tempo visto in precedenza e la teoria stabiliscono che vale la relazione

Dove v₀ = ωr è il massimo modulo della velocità del corpo che oscilla ed è anche il modulo della velocità del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.

Una pallina che si muove di moto armonico si trova nel punto Q della sua traiettoria. Q è la proiezione di un punto P che si muove di moto circolare uniforme. Il vettore posizione \(\vec s\) di Q è il vettore che ha origine nel centro di oscillazione e la punta dove si trova Q.

Dalle figure precedenti si vede che 

L’accelerazione \(\vec a\) in un punto Q del moto armonico ha sempre verso opposto al vettore posizione \(\vec s\) di Q (figura 24).

Nel confronto tra il grafico spazio-tempo e quello accelerazione-tempo avevamo inoltre visto che in ogni istante il valore di a e quello di s sono direttamente proporzionali.

La formula che fornisce \(\vec a\) e che riassume queste due proprietà è: 

Ricordando la formula (22) , il valore dell’accelerazione può essere espresso come

dove a₀ = ω²r è il massimo modulo dell’accelerazione del corpo che oscilla ed è anche valore dell’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme ideale che genera il moto armonico.

Per dimostrare la formula (24), disegniamo il raggio vettore \(\vec r\), il vettore posizione \(\vec s\) di Q, l’accelerazione centripeta \({\vec a_c}\) del moto circolare e l’accelerazione \(\vec a\) del moto armonico (figura 25).

• Si vede che i vettori \(\vec a\) e \(\vec s\) hanno la stessa direzione e versi opposti, quindi possiamo introdurre un fattore di proporzionalità k fra il modulo di \(\vec a\) e il modulo di \(\vec s\), cioè scrivere \(\vec a\;{\rm{ = - }}\;k\vec s\).
• Per calcolare k notiamo che i due triangoli \(OQP\) e \(PML\) sono simili perché sono entrambi rettangoli e hanno uguali gli angoli \(Q\hat OP\) e \(L\hat PM\) (alterni interni tra \(\vec s\) e \(\vec a\), con la trasversale \(\vec r\)). Allora si può scrivere la proporzione

Il valore di a (modulo del vettore \(\vec a\)) si ricava moltiplicando per s i due membri della seconda equazione e sostituendo al posto di \(a_{c}\) l’espressione \(w^{2}r\):

• Quindi il valore di \(k\) è \(w^{2}\), per cui otteniamo infine la formula (24): \(\vec a{\text{ = - }}{\omega ^2}\vec s\).