Le forze e i moti
Il moto armonico
Dimostrazione della legge per l’accelerazione nel moto armonico
Per dimostrare la formula (24), disegniamo il raggio vettore \(\vec r\), il vettore posizione \(\vec s\) di Q, l’accelerazione centripeta \({\vec a_c}\) del moto circolare e l’accelerazione \(\vec a\) del moto armonico (figura 25).
- Si vede che i vettori \(\vec a\) e \(\vec s\) hanno la stessa direzione e versi opposti, quindi possiamo introdurre un fattore di proporzionalità k fra il modulo di \(\vec a\) e il modulo di \(\vec s\), cioè scrivere \(\vec a\;{\rm{ = - }}\;k\vec s\).
- Per calcolare k notiamo che i due triangoli \(OQP\) e \(PML\) sono simili perché sono entrambi rettangoli e hanno uguali gli angoli \(Q\hat OP\) e \(L\hat PM\) (alterni interni tra \(\vec s\) e \(\vec a\), con la trasversale \(\vec r\)). Allora si può scrivere la proporzione
\[\frac{{\overline {MP} }}{{\overline {OQ} }}{\rm{ = }}\frac{{\overline {PL} }}{{\overline {OP} }},\;\;\;{\rm{ cioè }}\;\frac{{{a}}}{{{s}}}{\rm{ = }}\frac{{{{{a}}_{{c}}}}}{{{r}}}.\]
Il valore di a (modulo del vettore \(\vec a\)) si ricava moltiplicando per s i due membri della seconda equazione e sostituendo al posto di \(a_{c}\) l’espressione \(w^{2}r\):
- Quindi il valore di \(k\) è \(w^{2}\), per cui otteniamo infine la formula (24): \(\vec a{\text{ = - }}{\omega ^2}\vec s\).
Figura 25
Posizioni e accelerazioni del moto circolare uniforme e del corrispondente moto armonico.
