Per studiare la gittata di un proiettile che si muove di moto parabolico (cioè sotto l’azione della forza-peso, ma trascurando l’attrito con l’aria) scegliamo di lavorare, come nel paragrafo precedente, in un sistema di riferimento in cui l’origine O coincide con il punto da cui il proiettile è lanciato.

Sappiamo che, in tal caso, la traiettoria del proiettile è descritta dall’equazione

La gittata corrispondente a questa traiettoria è uguale all’ascissa del punto A (diverso da O) in cui la parabola interseca l’asse delle x (figura sotto).

Tale punto è determinato studiando per quale valore di x l’ordinata della traiettoria torna ad annullarsi:

da cui

Da questa equazione si ricava

Si tratta di un’equazione di secondo grado spuria, che può essere risolta raccogliendo l’incognita x a fattore comune e sfruttando il principio di annullamento del prodotto:

da cui

La soluzione \(x_{1}=0\) non è interessante, perché indica soltanto il punto O da cui parte il proiettile. Quindi la gittata \(\Delta x\) è data dalla seconda soluzione:

Per determinare le condizioni per le quali si ha la gittata massima è conveniente utilizzare la trigonometria. È possibile esprimere le componenti di \(\vec v\) come

Quindi la gittata può essere riscritta come

dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo ricordato l’identità goniometrica

Siccome \(v^{2}\) e \(g\) sono costanti, la gittata è massima quando \({\mathrm{sen}}\,2\alpha \) assume il suo valore massimo, cioè 1. Dalla goniometria sappiamo che ciò accade quando l’argomento della funzione seno, cioè l’angolo \(2\alpha \), è uguale a 90°.

Quindi abbiamo dimostrato che la gittata assume il suo valore massimo

quando l’angolo di lancio del proiettile è uguale a 45°.