Capitolo Le forze e i moti

L’accelerazione centripeta

Dimostrazione delle proprietà di \( {\vec a_c} \)

Nel moto circolare uniforme, il vettore velocità è, in ogni punto, perpendicolare alla traiettoria e, quindi, al raggio vettore \(\vec r\).

Disegnando le frecce che rappresentano le velocità con le code nello stesso punto, nella figura 17 si vede che la punta di \(\vec v\) compie un moto circolare uniforme.

Il vettore \(\vec v\) compie un giro completo ogni volta che il raggio vettore \(\vec r\) conclude un giro. Quindi i moti circolari dei due vettori hanno lo stesso periodo.

Il moto circolare della punta di \(\vec v\) ammette un vettore «velocità della velocità», che è l’accelerazione.

Il vettore accelerazione \({\vec a_c}\) è tangente alla traiettoria della punta di \(\vec v\) e, quindi, è perpendicolare a \(\vec v\).	Dal momento che \(\vec v\) è perpendicolare a \(\vec r\), i vettori \({\vec a_c}\) e \(\vec r\) risultano paralleli e con versi opposti.

Abbiamo quindi confermato che l’accelerazione del moto circolare uniforme è centripeta, perché ha la direzione del raggio vettore ed è rivolta nel verso opposto di \(\vec r\), cioè verso il centro. Ora, questa osservazione ci permette di calcolare il valore di \(a_{c}\).

La relazione tra \(v\) e \(r\) è data da \( {v}={{\frac{{2}\mathrm{\pi}}{T}}}{{r}} \). Nel moto circolare uniforme della punta di \(\vec v\) deve valere la stessa relazione matematica tra \(a\) e \(v\). Quindi troviamo:

\[ a=\frac{{2\pi }}{T}v=\frac{v}{r}v=\frac{{{v^2}}}{r}. \]

È così dimostrata la formula (19).