Capitolo La misura

L’incertezza delle misure indirette

Molto spesso calcoliamo, per esempio, il perimetro di un rettangolo come la somma delle lunghezze dei suoi lati, oppure l’area come il prodotto delle sue dimensioni. In questi casi, il valore più plausibile di una grandezza derivata (perimetro o area) è determinato a partire dalla misura diretta di altre grandezze (i lati del rettangolo).

Il valore più plausibile di tutte le grandezze derivate è quello che si ottiene facendo le operazioni necessarie sui dati sperimentali ottenuti.

Così, per esempio, il valore sperimentale del perimetro di un trapezio si ottiene sommando i dati ottenuti per le misure dei suoi quattro lati.

Quanto vale, però, l’incertezza sul valore di una grandezza ottenuto dai dati sperimentali attraverso un’operazione matematica?


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L’incertezza delle misure indirette

Incertezza sulla somma e sulla differenza

Quando misuriamo una grandezza a, scriviamo il risultato sperimentale della misura come a =  \( \overline{a} \pm \Delta a\), dove \( \overline{a}\) è il valore più plausibile della grandezza considerata, per esempio il valore medio di una serie di misure, e Δa è l’incertezza sul valore di a

Per esempio, abbiamo misurato due masse, m1 = (1,27 ± 0,02) kg e m2 = (2,18 ± 0,03) kg. Il valore più plausibile della massa totale \( \overline{a}\) = \( \overline{a}_1\) + \( \overline{a}_2\) è (1,27 kg + 2,18 kg) = 3,45 kg.

L’incertezza sulla massa totale è la somma delle incertezze sui singoli valori: (0,02 kg + 0,03 kg) = 0,05 kg. Ciò corrisponde a una regola generale:

l’incertezza sulla somma o differenza di dati sperimentali è uguale alla somma delle corrispondenti incertezze.

In generale, se Δa è l’incertezza sul valore di a, e Δb è l’incertezza su b, con Δ(a +b) indichiamo l’incertezza sulla somma e con Δ(a – b) quello sulla differenza. La regola precedente si esprime attraverso la formula

\[\Delta (a+b) = \Delta (a-b) = \Delta a + \Delta b.\]

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L’incertezza delle misure indirette

Incertezza sul prodotto e sul quoziente

Consideriamo il prodotto o il quoziente di due misure sperimentali \( \overline{a} \pm \Delta a\) e \( \overline{b} \pm \Delta b\). Vale la seguente proprietà:

l’incertezza relativa sul prodotto o sul quoziente di due misure è uguale alla somma delle incertezze relative sulle singole misure.

Indicando con Δ(a · b) l’incertezza sul prodotto e con Δ(a / b) quella sul quoziente, la proprietà precedente fornisce la formula

\[ \frac{\mathrm{\Delta}{\mathrm{(}}{{a}}\cdot{{b}}{\mathrm{)}}}{\overline{{a}}\cdot\overline{\mathrm{b}}}=\frac{\mathrm{\Delta}{\mathrm{(}}{{a}}{\mathrm{/}}{{b}}{\mathrm{)}}}{\overline{{a}}{\mathrm{/}}\overline{{b}}}=\frac{\mathrm{\Delta}{{a}}}{\overline{{a}}}+\frac{\mathrm{\Delta}{{b}}}{\overline{{b}}} \]

 

 

approfondimento

Precisione minore

Ciò significa che la precisione con cui conosciamo una grandezza ottenuta come prodotto o quoziente è sempre minore di quella con cui conosciamo i valori misurati direttamente (incertezza relativa maggiore).

Valori delle grandezze derivate e corrispondenti incertezze
Grandezza Valore più plausibile Incertezza
\[ {{a}}+{{b}} \]
\[ {\overline{a}}+{\overline{b}} \]
\[ \mathrm{\Delta}{{a}}+\mathrm{\Delta}{{b}} \]
\[ {{a}}-{{b}} \]
\[ {\overline{a}}-{\overline{b}} \]
\[ \mathrm{\Delta}{{a}}+\mathrm{\Delta}{{b}} \]
\[ {\mathrm{a}}\cdot{\mathrm{b}} \]
\[ \mathrm{\overline{a}}\cdot\mathrm{\overline{b}} \]
\[ {\overline{a}}{\overline{\,{b}}}\:{\left({\frac{\mathrm{\Delta}{a}}{\overline{a}}{+}\frac{\mathrm{\Delta}{b}}{\overline{b}}}\right)}= {\overline{b}}\cdot\mathrm{\Delta}{{a}}+{\overline{a}}\cdot\mathrm{\Delta}{{b}} \]
\[ {\frac{a}{b}} \]
\[ {\frac{\overline{a}}{\overline{b}}} \]
\[ \frac{\overline{a}}{\overline{b}}\:{\left({\frac{\mathrm{\Delta}{a}}{\overline{a}}{+}\frac{\mathrm{\Delta}{b}}{\overline{b}}}\right)} \]
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esempio

Esempio

Le lunghezze dei due lati di una fotografia sono a = (32,9 ± 0,1) cm e b = (25,8 ± 0,1) cm.

Calcola il valore più plausibile \( \overline{{A}} \) dell’area A e la corrispondente incertezza ΔA.

Scrivi in modo corretto il risultato della misura di A.

    • Indichiamo i valori più plausibili dei lati come \( \overline{{A}} \) = 32,9 cm e \( \overline{{B}} \) = 25,8 cm. Le incertezze su a e su b sono Δa = Δb = 0,1 cm.
    • Il valore più plausibile (o valore medio) sull’area A si ottiene moltiplicando i valori medi dei lati:
      \[ \overline{A} = \overline{a} \cdot \overline{b} = \left( 32,9 \; \text{cm} \right) \times \left( 25,8 \; \text{cm} \right) = 848,82 \; {\text{cm}}^{2}.\]
    • Utilizzando la formula (5), l’incertezza relativa er sulla grandezza Aè
      \[ \mathrm{incertezza\, relativa} ={{e}}_{{r}}=\frac{\mathrm{\Delta}{{a}}}{\overline{{a}}}+\frac{\mathrm{\Delta}{{b}}}{\overline{{b}}}= \]
      \[=\frac{{0,1}\;{\mathrm{cm}}}{{32,9}\;{\mathrm{cm}}}+\frac{{0,1}{\mathrm{cm}}}\;{{25,8}{\mathrm{cm}}}={0,003}+{0,004}={0,007}. \]
    • Ora possiamo isolare l’incertezza nella formula (3), ottenendo il valore di ΔA:
ΔA = incertezza = (incertezza relativa) · (valore medio) = .
\[\Delta{A} = \text{incertezza} = \left(\text{incertezza relativa}\right) \cdot \left( \text{valore medio}\right) = \] \[= {e}_{r} \cdot \overline{A} = 0,007 \times \left(848,82 \; {\text{cm}}^{2}\right)= 5,94174\;{\text{cm}}^{2} \]
    • Il calcolo per \( \overline{{A}} \) aveva fornito il valore 848,82 cm2; però, visto che l’incertezza ha circa il valore di 6 cm2, le cifre dopo la virgola non hanno nessun valore dal punto di vista logico. Così, approssimando per eccesso il valore di \( \overline{{A}} \) , il risultato del calcolo si esprime in modo corretto come
\[ {{A}}={{A}}\mathrm{\pm}\mathrm{\Delta}{{A}}={\mathrm{(}}{549}\mathrm{\pm}{6}{\mathrm{)}}\;{\mathrm{cm}}^{2} \]

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