Capitolo La misura

Il valore medio e l'incertezza

I valori riportati nella tabella a lato sono i risultati della misura, ripetuta più volte, di sei oscillazioni complete di un pendolo (figura 2).

I tempi non sono tutti uguali, perché nell’eseguire la misura sono stati fatti degli errori casuali: si va da 14,3 s (valore minimo) a 14,7 s (valore massimo). Qual è allora il risultato della misura?

Poiché gli errori casuali sono un po’ per eccesso e un po’ per difetto, scegliamo come risultato della misura il valore medio \( \overline{{t}} \) delle diverse misure:

\[ \overline{{t}} =\frac{{\mathrm{(}}{\mathrm{14,6}}\;{\mathrm{s}}+{\mathrm{14,7}}\;{\mathrm{s}}+{\mathrm{14,4}}\;{\mathrm{s}}+{\mathrm{14,6}}\;{\mathrm{s}}+{\mathrm{14,5}}\;{\mathrm{s}}+{\mathrm{14,3}}\;{\mathrm{s}}{\mathrm{)}}}{6} ={\mathrm{14,5}}\;{\mathrm{s}} \]

Se si fanno diverse misure, si sceglie come risultato della misura il loro valore medio, che è il rapporto tra la somma delle misure e il numero delle misure:

\[ \: {\mathrm{valore}}\: {\mathrm{medio}} =\frac{{\mathrm{somma}}\: {\mathrm{delle}}\: {\mathrm{misure}}}{{\mathrm{numero}}\: {\mathrm{delle}}\: {\mathrm{misure}}} \]

Oscillazioni di un pendolo

Misura	Valore (s)
1	14,6
2	14,7
3	14,4
4	14,6
5	14,5
6	14,3

Figura 2

Pendolo in oscillazione.

Il valore medio e l'incertezza

L’errore massimo

Un modo semplice, anche se un po’ grossolano, di stimare l’incertezza della misura dovuta agli errori casuali consiste nel calcolare l’errore massimo.

L’errore massimo è uguale alla differenza tra il valore massimo e il valore minimo divisa per due:

\[ {\mathrm{errore}}\: {\mathrm{massimo}}=\frac{{\mathrm{valore}}\: {\mathrm{massimo}}-{\mathrm{valore}}\: {\mathrm{minimo}}}{2} \]

Nell’esempio precedente l’errore massimo è

\[ \frac{{\mathrm{14,7}}\;{\mathrm{s}}-{\mathrm{14,3}}}{2} ={0,2}\:{\mathrm{s}} \]

Quanto tempo impiega allora il pendolo per compiere sei oscillazioni complete? Impiega

Il simbolo ±, che si legge «più o meno», indica che il risultato della misura è compreso tra (14,5 – 0,2) s e (14,5 + 0,2) s:

Se ripetiamo un’altra misura, è molto probabile che il valore sia compreso nell’intervallo tra 14,3 s e 14,7 s; ma bisogna anche tenere conto della sensibilità dello strumento.

Il risultato di una misura si esprime scrivendo il valore medio più o meno l’incertezza:

valore medio ± incertezza

Si può assumere come incertezza il più grande tra l’errore massimo e la sensibilità dello strumento.

Nel caso del pendolo, la sensibilità è 0,1 s mentre l’errore massimo è 0,2 s. Quindi l’incertezza è 0,2 s.
Se invece si misura la lunghezza di un foglio di carta con un righello che ha la sensibilità di 1 mm, è molto probabile che tutti i valori siano uguali: quindi l’errore massimo è uguale a zero. Questo però non significa che la misura sia esatta. Assumiamo che l’incertezza sia uguale a 1 mm, cioè 0,1 cm:
l = (29,7 ± 0,1) cm.

approfondimento

Che cosa dice la formula

L’errore massimo è:

grande se il valore massimo è molto diverso da quello minimo;
piccolo se i due valori sono vicini.

Il valore medio e l'incertezza

L’incertezza relativa

La massa di un’automobile, misurata con una bilancia che ha la sensibilità di 1 kg, è (1000 ± 1) kg.	La massa della pasta contenuta in un pacco, misurata con una bilancia che ha la sensibilità di 10 g, è (5,0 ± 0,1) hg.

La massa dell’automobile ha un’incertezza di 1 kg, mentre quella della pasta ha un’incertezza di un centesimo di kilogrammo (10^–2 kg). Quale delle due misure è più precisa?

Confrontiamo l’incertezza con il valore della misura, calcolando il loro rapporto:

\[ \frac{{1}\;{\mathrm{kg}}}{{\mathrm{1000}}\;{\mathrm{kg}}}=\frac{1}{\mathrm{1000}}\: \: \: \: \: \: \frac{{0,1}{\mathrm{hg}}}\;{{50}\;{\mathrm{hg}}}=\frac{1}{\mathrm{50}} \]

Poiché un millesimo è minore di un cinquantesimo, concludiamo che la misura della massa dell’automobile è più precisa, anche se ha un’incertezza più grande.

L’incertezza relativa è il rapporto tra l’incertezza e il valore medio:

\[ {\mathrm{incertezza}}\: {\mathrm{relativa}}=\frac{\mathrm{incertezza}}{{\mathrm{valore}}\: {\mathrm{medio}}} \]

È utile esprimere l’incertezza relativa in forma percentuale, cioè come una frazione con denominatore 100. Nell’esempio delle masse:

incertezza relativa percentuale della massa dell'auto =

\( =\frac{1}{\mathrm{1000}}\times{\mathrm{100}}{\mathrm{\%}}={0,1}{\mathrm{\%}} \)

incertezza relativa percentuale della massa della pasta =

\( =\frac{1}{\mathrm{50}}\times{\mathrm{100}}{\mathrm{\%}}={2}{\mathrm{\%}} \)

L’incertezza relativa percentuale è l’incertezza relativa espressa in forma percentuale:

incertezza relativa percentuale = (incertezza relativa × 100)%