La misura
L’incertezza delle misure indirette
Incertezza sul prodotto e sul quoziente
Consideriamo il prodotto o il quoziente di due misure sperimentali \( \overline{a} \pm \Delta a\) e \( \overline{b} \pm \Delta b\). Vale la seguente proprietà:
l’incertezza relativa sul prodotto o sul quoziente di due misure è uguale alla somma delle incertezze relative sulle singole misure.
Indicando con Δ(a · b) l’incertezza sul prodotto e con Δ(a / b) quella sul quoziente, la proprietà precedente fornisce la formula
approfondimento
Ciò significa che la precisione con cui conosciamo una grandezza ottenuta come prodotto o quoziente è sempre minore di quella con cui conosciamo i valori misurati direttamente (incertezza relativa maggiore).
| Grandezza | Valore più plausibile | Incertezza |
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\[ {{a}}+{{b}} \]
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\[ {\overline{a}}+{\overline{b}} \]
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\[ \mathrm{\Delta}{{a}}+\mathrm{\Delta}{{b}} \]
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\[ {{a}}-{{b}} \]
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\[ {\overline{a}}-{\overline{b}} \]
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\[ \mathrm{\Delta}{{a}}+\mathrm{\Delta}{{b}} \]
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\[ {\mathrm{a}}\cdot{\mathrm{b}} \]
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\[ \mathrm{\overline{a}}\cdot\mathrm{\overline{b}} \]
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\[ {\overline{a}}{\overline{\,{b}}}\:{\left({\frac{\mathrm{\Delta}{a}}{\overline{a}}{+}\frac{\mathrm{\Delta}{b}}{\overline{b}}}\right)}= {\overline{b}}\cdot\mathrm{\Delta}{{a}}+{\overline{a}}\cdot\mathrm{\Delta}{{b}} \]
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\[ {\frac{a}{b}} \]
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\[ {\frac{\overline{a}}{\overline{b}}} \]
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\[ \frac{\overline{a}}{\overline{b}}\:{\left({\frac{\mathrm{\Delta}{a}}{\overline{a}}{+}\frac{\mathrm{\Delta}{b}}{\overline{b}}}\right)} \]
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esempio
Le lunghezze dei due lati di una fotografia sono a = (32,9 ± 0,1) cm e b = (25,8 ± 0,1) cm.
Calcola il valore più plausibile \( \overline{{A}} \) dell’area A e la corrispondente incertezza ΔA.
Scrivi in modo corretto il risultato della misura di A.
- Indichiamo i valori più plausibili dei lati come \( \overline{{A}} \) = 32,9 cm e \( \overline{{B}} \) = 25,8 cm. Le incertezze su a e su b sono Δa = Δb = 0,1 cm.
- Il valore più plausibile (o valore medio) sull’area A si ottiene moltiplicando i valori medi dei lati:
\[ \overline{A} = \overline{a} \cdot \overline{b} = \left( 32,9 \; \text{cm} \right) \times \left( 25,8 \; \text{cm} \right) = 848,82 \; {\text{cm}}^{2}.\]
- Utilizzando la formula (5), l’incertezza relativa er sulla grandezza Aè
\[ \mathrm{incertezza\, relativa} ={{e}}_{{r}}=\frac{\mathrm{\Delta}{{a}}}{\overline{{a}}}+\frac{\mathrm{\Delta}{{b}}}{\overline{{b}}}= \]\[=\frac{{0,1}\;{\mathrm{cm}}}{{32,9}\;{\mathrm{cm}}}+\frac{{0,1}{\mathrm{cm}}}\;{{25,8}{\mathrm{cm}}}={0,003}+{0,004}={0,007}. \]
- Ora possiamo isolare l’incertezza nella formula (3), ottenendo il valore di ΔA:
- Il calcolo per \( \overline{{A}} \) aveva fornito il valore 848,82 cm2; però, visto che l’incertezza ha circa il valore di 6 cm2, le cifre dopo la virgola non hanno nessun valore dal punto di vista logico. Così, approssimando per eccesso il valore di \( \overline{{A}} \) , il risultato del calcolo si esprime in modo corretto come
