Capitolo Volume 1

Le grandezze

Matematica

Come si legge una formula

Una formula è un’uguaglianza tra una grandezza (a sinistra dell’uguale) e un’espressione che contiene altre grandezze e numeri (a destra). Per esempio, la grandezza «area A di un triangolo», nella figura, è uguale all’espressione «prodotto del numero 1/2 per la base b e per l’altezza h»:

\[A{\rm{ = }}\frac{1}{2}bh.\]

Leggere una formula significa descrivere come varia la grandezza a sinistra dell’uguale, facendo variare una alla volta le grandezze a destra.

Proporzionalità diretta

Teniamo fissa la base (per esempio, b = 10 cm) e facciamo variare l’altezza. La formula diventa

A= (5 cm) × h.

Possiamo dire che l’area è direttamente proporzionale all’altezza poiché il loro rapporto è costante.

Teniamo fissa l’altezza (per esempio, h = 20 cm) e facciamo variare la base.

La formula diventa

A = (10 cm) × b.

L’area è quindi direttamente proporzionale anche alla base.

La formula

\[A = \frac{1}{2}bh\,\]

dice che l’area è direttamente proporzionale sia alla base e sia all’altezza del triangolo.

Osserviamo che b e h compaiono a numeratore e sono elevati alla prima potenza: b = b¹, h = h¹.

Proporzionalità inversa

Esaminiamo la formula che esprime la base b di un triangolo in funzione dell’area A e dell’altezza h:

\[b=\frac{{2A}}{h}.\]

Teniamo fissa l’area (per esempio, A = 5 dm²) e facciamo variare l’altezza. La formula diventa

\[b=\frac{{{\rm{10}}\: {{\rm{dm}}^2}}}{h}.\]

Poiché il loro prodotto è costante, la base è inversamente proporzionale all’altezza.

La formula

\[b=\frac{{2A}}{h}\]

dice che la base è inversamente proporzionale all’altezza e direttamente proporzionale all’area.

Osserviamo che h compare al denominatore ed è elevato alla prima potenza (h = h¹); A compare al numeratore ed è elevato alla prima potenza (A = A¹).

Proporzionalità quadratica

Esaminiamo la formula che esprime il volume V del cilindro (figura) in funzione del raggio r della base e dell’altezza h:

V = πr²h.

Teniamo fissa l’altezza (per esempio, h = 10 cm) e facciamo variare la base. La formula diventa

V = (31,4 cm) × r².

Poiché il rapporto tra V e r² è costante, il volume è direttamente proporzionale al quadrato del raggio.

La formula

V = πr²h

dice che il volume è:

direttamente proporzionale al quadrato del raggio,
direttamente proporzionale all’altezza.

Osserviamo che r e h compaiono a numeratore: r è elevato al quadrato (r²) e h alla prima potenza (h = h¹).

Proporzionalità quadratica inversa

Esaminiamo la formula che esprime l’altezza h di un cilindro in funzione del volume V e del raggio della base r:

\[h = \frac{V}{{\pi {r^2}}}.\]

Teniamo fisso il volume (per esempio, V = 31,4 cm³) e facciamo variare il raggio della base. La formula diventa

\[h= \frac{{{\rm{10}}\: {{\rm{cm}}^3}}}{{{r^2}}}.\]

Poiché il prodotto tra h e r² è costante, l’altezza è inversamente proporzionale al quadrato del raggio

La formula

\[h =\frac{V}{{\pi {r^2}}}\]

dice che l’altezza è inversamente proporzionale al quadrato del raggio e direttamente proporzionale al volume.

Osserviamo che r compare al denominatore ed è elevato alla seconda potenza (r²); V compare al numeratore ed è elevato alla prima potenza (V = V¹). Esprimi ora a parole le seguenti formule: