Si racconta che Galileo Galilei, mentre si trovava nel duomo di Pisa, alzò lo sguardo e vide il grande lampadario di bronzo in fondo alla navata centrale che stava oscillando. Apparentemente, la durata di quelle lente e piccole oscillazioni restava sempre uguale, nonostante la loro ampiezza diminuisse sempre più. Galileo utilizzò l’unico orologio di cui disponeva, cioè il battito del suo cuore, per misurare la durata di queste oscillazioni e scoprire che era davvero sempre la stessa.

Galileo ha compiuto un esperimento per verificare la relazione fra due grandezze fisiche diverse: l’ampiezza e la durata di un’oscillazione. Ripetiamo questo esperimento con un pendolo.

Se spostiamo il pesetto dalla posizione di equilibrio e lo lasciamo libero, questo comincia a oscillare con un moto che si ripete nel tempo con le stesse caratteristiche:

il periodo del pendolo è l’intervallo di tempo impiegato a compiere un’oscillazione completa (avanti e indietro), cioè a tornare nella posizione iniziale.

Per piccole oscillazioni (dell’ordine di un decimo della lunghezza del filo), si verifica sperimentalmente l’isocronismo delle oscillazioni del pendolo: osserviamo cioè che, entro le incertezze sperimentali, la durata delle oscillazioni è indipendente dalla loro ampiezza, cioè rimane sempre la stessa anche se l’ampiezza delle oscillazioni diminuisce.

Il periodo di oscillazione del pendolo non dipende quindi dall’ampiezza di oscillazione (almeno fino a che questa non diviene troppo grande). Però può dipendere da altre grandezze, come la lunghezza del filo (figura 4).

In effetti, possiamo osservare sperimentalmente che, accorciando il filo, la durata delle oscillazioni diminuisce. Quindi deve esistere una relazione tra queste due caratteristiche del pendolo

Per cercare la relazione fra il periodo T e la sua lunghezza l, misuriamo per diverse lunghezze il corrispondente periodo. La lunghezza, cioè la distanza dal punto O di sospensione del filo al centro del dado appeso, è misurata con un regolo di sensibilità 0,001m.

Per ogni lunghezza, indichiamo nella tabella il periodo di oscillazione medio, calcolato su un totale di dieci misure effettuate con un cronometro con una sensibilità di ∆T = 0,1s. L’incertezza associata è il valore dello scarto quadratico medio per le dieci misure eseguite. Ripetiamo questo procedimento per sette diverse lunghezze del pendolo.

Come indica la seconda colonna della tabella, accorciamo il filo di 20 cm per volta, passando da una prova alla successiva.

Completato l’esperimento, riportiamo i valori ottenuti in un grafico cartesiano e rappresentiamo:

• in ascisse la lunghezza del pendolo;
• in ordinate il periodo (figura 5).

Indichiamo sul grafico anche l’errore di misura, facendo corrispondere a ogni misura del periodo del pendolo un segmento verticale che ha per estremi i valori T + ∆T e T - ∆T, dove ∆T è l’errore massimo.

La curva ottenuta ha la forma di un arco di parabola con il vertice nell’origine degli assi. La matematica ci insegna che questa curva rappresenta una legge di proporzionalità tra la lunghezza l e il quadrato del periodo T.

Per verificare questa ipotesi, e stabilire la relazione esistente fra il periodo del pendolo e la sua lunghezza, riportiamo in una nuova tabella i quadrati T² delle misure del periodo del pendolo per ognuna delle lunghezze fissate.  

Per calcolare l’errore ∆T² suT² abbiamo applicato la formula (6), osservando che nel nostro caso le singole misure moltiplicate sono entrambe uguali a T. Perciò possiamo calcolare l’errore relativo:

da cui ricaviamo

Per esempio, l’errore ∆T² della seconda prova, essendo T = 2,4 s e ∆ T = 0,1 s, vale:

A questo punto, costruiamo il grafico riportando in ascissa i valori della lunghezza del filo e in ordinata i valori del quadrato del periodo del pendolo (figura 6).  

La linea che meglio approssima i valori sperimentali ottenuti è una retta, e questo conferma la relazione di proporzionalità diretta fra l e T². Estraendo la radice quadrata, la relazione di proporzionalità diretta che esiste fra la radice quadrata della lunghezza l e il periodo di oscillazione T di un pendolo si può esprimere mediante la formula:

dove k è una costante positiva.

L’esperimento effettuato con il pendolo ci ha quindi fornito come risultato una legge (T dipende da l) esprimibile tramite una formula  \( (T=k\sqrt l )\) che lega fra loro il comportamento di due grandezze (T e l).