Il pe­rio­do di oscil­la­zio­ne del pen­do­lo non di­pen­de quin­di dal­l’am­piez­za di oscil­la­zio­ne (al­me­no fi­no a che que­sta non di­vie­ne trop­po gran­de). Pe­rò può di­pen­de­re da al­tre gran­dez­ze, co­me la lun­ghez­za del fi­lo (figura 4).

In ef­fet­ti, pos­sia­mo os­ser­va­re spe­ri­men­tal­men­te che, ac­cor­cian­do il fi­lo, la du­ra­ta del­le oscil­la­zio­ni di­mi­nui­sce. Quin­di de­ve esi­ste­re una re­la­zio­ne tra que­ste due ca­rat­te­ri­sti­che del pen­do­lo

Per cer­ca­re la re­la­zio­ne fra il pe­rio­do T e la sua lun­ghez­za l, mi­su­ria­mo per di­ver­se lun­ghez­ze il cor­ri­spon­den­te pe­rio­do. La lun­ghez­za, cioè la di­stan­za dal pun­to O di so­spen­sio­ne del fi­lo al cen­tro del da­do ap­pe­so, è mi­su­ra­ta con un re­go­lo di sen­si­bi­li­tà 0,001m.

Per ogni lun­ghez­za, in­di­chia­mo nel­la ta­bel­la il pe­rio­do di oscil­la­zio­ne me­dio, cal­co­la­to su un to­ta­le di die­ci mi­su­re ef­fet­tua­te con un cro­no­me­tro con una sen­si­bi­li­tà di ∆T = 0,1s. L’in­cer­tez­za as­so­cia­ta è il va­lo­re del­lo scar­to qua­dra­ti­co me­dio per le die­ci mi­su­re ese­gui­te. Ri­pe­tia­mo que­sto pro­ce­di­men­to per set­te di­ver­se lun­ghez­ze del pen­do­lo.

Co­me in­di­ca la se­con­da co­lon­na del­la ta­bel­la, ac­cor­cia­mo il fi­lo di 20 cm per vol­ta, pas­san­do da una pro­va al­la suc­ces­si­va.

Com­ple­ta­to l’e­spe­ri­men­to, ri­por­tia­mo i va­lo­ri ot­te­nu­ti in un gra­fi­co car­te­sia­no e rap­pre­sen­tia­mo:

• in ascis­se la lun­ghez­za del pen­do­lo;
• in or­di­na­te il pe­rio­do (figura 5).

Misura del periodo per diverse lunghezze del pendolo

N. pro­va	l(m)	T(s)
1	1,700 ± 0,001	2,5 ± 0,1
2	1,500 ± 0,001	2,4 ± 0,1
3	1,300 ± 0,001	2,2 ± 0,1
4	1,100 ± 0,001	2,1 ± 0,1
5	0,900 ± 0,001	1,9 ± 0,1
6	0,700 ± 0,001	1,6 ± 0,1
7	0,500 ± 0,001	1,4 ± 0,2
8	0,300 ± 0,001	1,1 ± 0,2

In­di­chia­mo sul gra­fi­co an­che l’er­ro­re di mi­su­ra, fa­cen­do cor­ri­spon­de­re a ogni mi­su­ra del pe­rio­do del pen­do­lo un seg­men­to ver­ti­ca­le che ha per estre­mi i va­lo­ri T + ∆T e T - ∆T, do­ve ∆T è l’er­ro­re mas­si­mo.

La cur­va ot­te­nu­ta ha la for­ma di un ar­co di pa­ra­bo­la con il ver­ti­ce nel­l’o­ri­gi­ne de­gli as­si. La ma­te­ma­ti­ca ci in­se­gna che que­sta cur­va rap­pre­sen­ta una leg­ge di pro­por­zio­na­li­tà tra la lun­ghez­za l e il qua­dra­to del pe­rio­do T.

Per ve­ri­fi­ca­re que­sta ipo­te­si, e sta­bi­li­re la re­la­zio­ne esi­sten­te fra il pe­rio­do del pen­do­lo e la sua lun­ghez­za, ri­por­tia­mo in una nuo­va ta­bel­la i qua­dra­ti T² del­le mi­su­re del pe­rio­do del pen­do­lo per ognu­na del­le lun­ghez­ze fis­sa­te.  

Misura del quadrato del periodo per diverse lunghezze del pendolo

N. pro­va	l(m)	T2(s2)
1	1,700 ± 0,001	6,3 ± 0,5
2	1,500 ± 0,001	5,8 ± 0,5
3	1,300 ± 0,001	4,8 ± 0,4
4	1,100 ± 0,001	4,4 ± 0,4
5	0,900 ± 0,001	3,6 ± 0,4
6	0,700 ± 0,001	2,6 ± 0,3
7	0,500 ± 0,001	2,0 ± 0,6
8	0,300 ± 0,001	1,2 ± 0,4

Per cal­co­la­re l’er­ro­re ∆T² suT² ab­bia­mo ap­pli­ca­to la for­mu­la (6), os­ser­van­do che nel no­stro ca­so le sin­go­le mi­su­re mol­ti­pli­ca­te so­no en­tram­be ugua­li a T. Per­ciò pos­sia­mo cal­co­la­re l’er­ro­re re­la­ti­vo:

da cui ri­ca­via­mo

Per esem­pio, l’er­ro­re ∆T² del­la se­con­da pro­va, es­sen­do T = 2,4 s e ∆ T = 0,1 s, va­le:

A que­sto pun­to, co­struia­mo il gra­fi­co ri­por­tan­do in ascis­sa i va­lo­ri del­la lun­ghez­za del fi­lo e in or­di­na­ta i va­lo­ri del qua­dra­to del pe­rio­do del pen­do­lo (figura 6).  

La li­nea che me­glio ap­pros­si­ma i va­lo­ri spe­ri­men­ta­li ot­te­nu­ti è una ret­ta, e que­sto con­fer­ma la re­la­zio­ne di pro­por­zio­na­li­tà di­ret­ta fra l e T². Estraen­do la ra­di­ce qua­dra­ta, la re­la­zio­ne di pro­por­zio­na­li­tà di­ret­ta che esi­ste fra la ra­di­ce qua­dra­ta del­la lun­ghez­za l e il pe­rio­do di oscil­la­zio­ne T di un pen­do­lo si può espri­me­re me­dian­te la for­mu­la:

do­ve k è una co­stan­te po­si­ti­va.

L’e­spe­ri­men­to ef­fet­tua­to con il pen­do­lo ci ha quin­di for­ni­to co­me ri­sul­ta­to una leg­ge (T di­pen­de da l) espri­mi­bi­le tra­mi­te una for­mu­la  \( (T=k\sqrt l )\) che le­ga fra lo­ro il com­por­ta­men­to di due gran­dez­ze (T e l).