La misura
Il valore medio e l’incertezza
L’errore massimo
Un modo semplice, anche se un po’ grossolano, di stimare l’incertezza della misura, dovuta agli errori casuali, consiste nel calcolare l’errore massimo.
L’errore massimo (o semidispersione massima) è uguale alla differenza tra il valore massimo e il valore minimo divisa per due.
Se xmax è il valore massimo misurato e xmin è quello minimo, l’errore massimo em è:
Nell’esempio precedente l’errore massimo è \(
\frac{{\mathrm{14}}{\mathrm{,}}{7}\,{\mathrm{s}}\hspace{0.33em}\mathrm{{-}}\hspace{0.33em}{\mathrm{14}}{\mathrm{,}}{3}\,{\mathrm{s}}}{2}\hspace{0.33em}=\hspace{0.33em}{0}{\mathrm{,}}{2}\,{\mathrm{s}}{\mathrm{.}}\)
Quanto tempo impiega allora il pendolo per compiere sei oscillazioni complete? Impiega
Il simbolo ±, che si legge «più o meno», indica che il risultato della misura è compreso tra (14,5 – 0,2)s e (14,5 – 0,2)s:
Se ripetiamo un’altra misura, è molto probabile che il valore sia compreso nell’intervallo tra 14,3 s e 14,7 s.
In alcuni casi, l’errore sperimentale non è dovuto al fatto che abbiamo ottenuto risultati diversi, ma alla sensibilità dello strumento.
Il risultato di una misura si esprime scrivendo il valore medio più o meno l’incertezza:
Si può assumere come errore il più grande tra l’errore massimo e la sensibilità dello strumento.
- Nel caso del pendolo, la sensibilità è 0,1 s, mentre l’errore massimo è 0,2 s. Quindi l’incertezza è 0,2 s.
- Se invece si misura la lunghezza di un foglio di carta con un righello che ha la sensibilità di 1 mm, è molto probabile che tutti i valori siano uguali: quindi l’errore massimo è uguale a zero. Questo però non significa che la misura sia esatta. Assumiamo che l’incertezza sia uguale alla sensibilità dello strumento, cioè 0,1 cm:
(29,7 ± 0,1) cm.
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Con un numero n piuttosto grande di misure si può costruire l’istogramma, un grafico con l’asse delle ascisse suddiviso in intervalli di valori, che ha in ordinata il numero di dati che ricadono in tale intervallo. Spesso il profilo dell’istogramma tende a seguire una curva a campana, detta curva di Gauss. In tal caso, invece dell’errore massimo si usa l’errore statistico σ dato dalla formula
dove i numeri xi, con 1 ≤ i ≤ n, sono i dati sperimentali e \(\bar{\mathrm{\textit{x}}}\) è il valore medio calcolato con la formula (1)
Figura 3
Istogramma che rappresenta un insieme di dati sperimentali.text
Se tutte le misure sono uguali, gli errori casuali sono nascosti dalla scarsa sensibilità dello strumento. Per esempio, usando un cronometro con una sensibilità di 1 s, i tempi di una gara olimpionica dei 100 m sarebbero tutti uguali.
