La misura
Il valore medio e l’incertezza
L’incertezza relativa
La massa dell’automobile ha un’incertezza di 5 kg, mentre quella della pasta ha un’incertezza di un centesimo di kilogrammo (10–2 kg). Quale delle due misure è più precisa?
Confrontiamo l’incertezza con il valore della misura, calcolando il loro rapporto:
Poiché cinque millesimi è un numero minore di un cinquantesimo, concludiamo che la misura della massa dell’automobile è più precisa, anche se ha un’incertezza più grande.
L’incertezza relativa er è il rapporto tra l’incertezza ∆x e il valore medio:
(Il simbolo ∆x si legge «delta x».)
È utile esprimere l’incertezza relativa in forma percentuale, cioè come una frazione con denominatore 100. Nell’esempio delle masse:
incertezza percentuale sulla massa dell'auto\( = \frac{5}{{{\rm{1000}}}} \times 100 = 0,5\% \)
incertezza percentuale sulla massa della pasta\({ = \frac{1}{{{\rm{50}}}} \times 100 = 2\% }\)
L’incertezza percentuale e% è l’incertezza relativa espressa in forma percentuale:
e%\( = e_r \times 100 \)
Quando l’incertezza ∆x è data dall’errore massimo, la quantità \({e_r} = \Delta x{\rm{/}}\,\bar x\) della formula (3) è detta anche errore relativo; questo può essere scritto anche in forma di errore percentuale, in analogia all’incertezza percentuale.
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Essendo un quoziente tra due grandezze dello stesso tipo, l'errore relativo è sempre un numero puro.
esempio
Misurando più volte la temperatura di un malato con un termometro clinico digitale si ottengono i seguenti valori:
37,77 °C 37,81 °C 37,76 °C 37,84 °C 37,83 °C.
Calcola la media \(\vec t\) di queste misure e il loro errore massimo.
Esprimi in modo corretto il risultato della misura.
Calcola l’incertezza percentuale e% relativa alla misura.
- Il valore medio delle cinque misure di temperatura è
\[\overline{t}={\frac{{(}{37,77}+{37,81}+{37,76}+{37,84}+{37,83}{)\;^{\circ}\mathrm{C}}}{5}}={\frac{{189,01}\;^{\circ}{\mathrm{C}}}5={37,80}}\;^{\circ}{\mathrm{C}} \]
- La più piccola delle misure ottenute è tmin = 37,76 °C, mentre la più grande è tmax= 37,84 °C. Quindi, per la formula (2), l’errore massimo è
\[e_{m}={\frac{t_{max}-t_{min}}{2}}={\frac{{37,84}\;^{\circ}\mathrm{C}-{37,76}\;^{\circ}\mathrm{C}}{2}}={0,04}\;^{\circ}\mathrm{C}{.} \]
- Dai dati si riconosce che le temperature sono misurate con uno strumento che ha la sensibilità di 0,01 °C. Ma l’errore massimo vale em 0,04 °C, che è maggiore della sensibilità. Quindi l’incertezza t è uguale all’errore massimo em: \[\Delta{t} = e_{m} = 0,04 \;^{\circ}\mathrm{C}\]
- Riassumendo le informazioni che abbiamo raccolto, il risultato della misura della temperatura t del malato si scrive
- Visto che, nel caso che stiamo esaminando, l’incertezza è uguale all’errore massimo, l’incertezza percentuale e% è un errore percentuale, il cui valore è:
e%\(= \frac{\Delta t}{\overline t}\times 100 = \frac{0,04 \, ^{\circ}\mathrm{C}}{37,80 \, ^{\circ}\mathrm{C}}\times 100 = \)0,1%.
